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SUR QUELQUES FORMULES DU CALCUL INTÉGRAL. 
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En supposant que r — 1 est entier négatif, l’intégrale 
/*00 
I (c 2 + ¿e 2 ) r_1 cos xdx 
J 0 
se décompose facilement dans une suite d’intégrales de la forme 
/* CO 
I (c + ixf~ x cos xdx ; 
J —CO 
et, en prenant la somme de celles-ci, on obtient la formule 
(c 2 + x 2 ) r ~ l cos xdx = 
•ne~ 
' (2c) 2 
P (1 - r) 
e~ r (e + 2 c)~ r e~ e de 
(12), 
laquelle est due à M. Catalan. Cependant, ni cette démonstration ni celle de 
M. Catalan ne s’appliquent au cas où r n’est pas entier ; la formule subsiste encore 
dans ce cas, comme M. Serret l’a démontré rigoureusement. En essayant de la 
vérifier, je suis tombé sur cette autre formule : 
(c 2 + & 2 ) r_1 cos xdx 
= y7re~ c (2c) 2 '- 1 r (Vfl+ 2c + \Zey-y+ (pJd + 2c - \'6) l ~ 2r _ e 
2f (1 - r) 
Vif + 2c 
e~ e de 
(13), 
ce qui suppose, comme auparavant, que r — 1 soit négatif ; en comparant les deux 
valeurs, on est conduit au résultat singulier (en écrivant a au lieu de 2c, et ^ (1 — p) 
pour r): 
(y# + a + y 8)P + (y 6 + a. — \Z0) P 
y# y# 
de 
+ a 
2 y 7T 
r*(p + l) 
((9 + e- 0 ù<9 
(14), 
lequel peut se démontrer sans difficulté, quand p est entier positif impair, en développant 
les deux membres suivant les puissances de a ; cela se fait au moyen de 
(y 1 +#+ 1)p + (y 1 + x — 1)î> 
yi +x 
Sr 
2p~ 2r Y (p — r) 
Y (p — 2r) T (r + 1)_ 
(15), 
où r s’étend depuis 0 jusqu’à — 1). J’ai déduit de cette formule (14) des formules 
assez remarquables qui se rapportent aux attractions, lesquelles paraîtront dans un numéro 
prochain du Cambridge and Dublin Mathematical Journal, [41]. On peut encore démon 
trer cette formule singulière : 
C. 
T (r + a — 1) = 
1_ 
2 sin vit 
OO 
{ix) r ~ l (— ix) a ~ l e ix dx 
■ CO 
(16); 
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