318 SUR QUELQUES THEOREMES DE LA GÉOMÉTRIE DE POSITION. [50 
N 2 , E 3 , ... les nombres des combinaisons de n lettres prises deux à deux, trois à trois etc. 
à la fois, on a le théorème suivant : 
Théorème I. On peut former un système de JSf 2 points situés trois à trois sur N 3 
droites: savoir en représentant les points par 12, 13, 23, etc. et les droites par 123, etc., 
les points 12, 13, 23 seront situés sur la droite 123, et ainsi de suite. 
Pour n = 3, ou n = 4, cela est tout simple ; on aura trois points sur une droite, ou 
six points trois à trois sur quatre droites ; il n’en résulte aucune propriété géométrique. 
Pour n = 5 on a dix points, trois à trois sur autant de droites, savoir les points 
12, 13, 14, 15, 23, 24, 25, 34, 35, 45 
et les droites 
123, 124, 125, 134, 135, 145, 234, 235, 245, 345. 
Les points 12, 13, 14, 23, 24, 34 sont les angles d’un quadrilatère quelconque 1 , le 
point 15 est tout à fait arbitraire, le point 25 est situé sur la droite passant par les 
points 12 et 15, mais sa position sur cette droite est arbitraire. On déterminera depuis 
les points 35, 45 ; 35 comme point d’intersection des droites passant par 13 et 15 et 
par 23 et 25, c’est-à-dire des droites 135 et 235, et de même 45 comme point d’inter 
section des lignes 145 et 245. Les points 35 et 45 auront la propriété géométrique 
d’être en ligne droite avec 34, ou bien tous les trois seront dans une même droite 345. 
Etudions de plus près la figure que nous venons de former. En prenant le cinq 
numéros dans un ordre déterminé, par exemple dans l’ordre naturel 1, 2, 3, 4, 5, les 
cinq points 12, 23, 34, 45, 51 pourront être considérés comme formant un pentagone que 
nous représenterons par la notation (12345). Les côtés de ce pentagone sont évidem 
ment 123, 234, 345, 451, 512. De même les points 13, 35, 52, 24, 41 peuvent être 
considérés comme formant le pentagone (13524) dont les côtés sont 135, 352, 524, 
241, 413. Ce pentagone est circonscrit au premier, car ses côtés passent évidemment 
par les angles 15, 23, 45, 12, 34 du premier: mais il est de même inscrit à celui-ci, 
car ses angles sont situés respectivement dans les côtés 123, 345, 512, 234, 451 de 
ce même pentagone. Donc les pentagones 
(12345), (13524) 
sont à la fois circonscrits et inscrits l’un à l’autre, donc : 
Théorème II. La figure composée de dix points, trois à trois dans dix droites, peut 
être considérée {même de six manières différentes) sous la forme de deux pentagones, inscrits 
et circonscrits l’un à Vautre. 
Ou encore 
Théorème III. Etant donné un pentagone quelconque, on peut toujours trouver un 
autre pentagone qui y est à la fois circonscrit et inscrit. Ce second pentagone peut satis 
faire à une seule condition donnée quelconque. 
1 II faut avoir égard toujours à la différence entre quadrilatère et quadrangle ; chaque quadrilatère a quatre 
côtés et six angles, chaque quadrangle a quatre angles et six côtés.