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SUR QUELQUES THÉORÈMES DE LA GÉOMÉTRIE DE POSITION.
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rencontrent dans 24, les autres dans 26 et 46, et ces trois points sont dans la droite
246. Maintenant tout cela arrive également en combinant les colonnes verticales, ou
en considérant les neuf points comme formant les trois autres triangles dont les angles
sont 12, 32, 52; 14, 34, 54; 16, 36, 56. Cela donne lieu au théorème suivant:
Théorème IV. Le système de quinze points, situés trois à trois sur vingt droites,
contient {et cela même de dix manières différentes) un système de neuf points qui ont la
propriété de former de deux manières différentes trois triangles, tels, que les droites
qui passent par leurs angles homologues, prises deux à deux, se rencontrent dans trois
points qui sont en ligne droite, tandis que les côtés homologues des triangles se coupent
trois à trois en trois autres points qui sont aussi en ligne droite. Dans la seconde
manière de former les triangles, ces deux systèmes de trois points en ligne droite sont
seulement échangés.
Il ne reste qua savoir combien il y en a d’arbitraires dans le système de quinze
points situés trois à trois sur vingt droites. En supposant le système formé pour le
nombre cinq, on peut prendre arbitrairement 16 et 26 sur la droite 126 qui est
déterminée par les points 12 et 16. Donc 12, 13, 14, 15 et 16 sont arbitraires et 23,
24, 25, 26 sont arbitrairement situés sur des droites données. L’existence des droites 345,
346, 356, 456 constitue autant de théorèmes géométriques ; c’est-à-dire, chacune de
ces droites est déterminée par trois points.
En essayant d’approfondir la théorie de six points sur la même conique, on ren
contrera un système de neuf points, tel que ceux que nous venons d’examiner; mais
il est moins général. Il existe des relations entre les points qui n’ont pas lieu dans
le système général. Je renvoie cette discussion à une section séparée de ce mémoire,
et je passe au cas de n = 7.
Pour ce cas on a tout de suite le théorème suivant :
Théorème V. Le système de vingt et un points situés trois à trois sur trente-cinq
droites, peut être considéré {même de cent vingt manières différentes') comme composé de trois
heptagones, le premier circonscrit au second, le second au troisième et le troisième au
premier. Les heptagones par exemple peuvent être (1234567), (1357246), (1526374).
Dans ce système 12, 13, 14, 15, 16, 17 sont arbitraires, et 23, 24, 25, 26, 27 le sont
sur des droites données ; les droites 345, 346, 347, 356, 357, 367, 456, 457, 467, 567 sont
déterminées chacune par trois points. Dans le cas général 12, 13 ... 1 n sont arbitraires,
et 23 ... 2w le sont sur des droites données. Il existe ^ {n — 2) {n — 3) {n — 4) droites
dont chacune est déterminée par trois points. Un théorème analogue à celui-ci a lieu
quand n est un nombre premier : savoir le suivant :
Théorème VI. Le système de i\ r 2 points, situés trois à trois sur iV 3 droites, peut être
considéré {même de ^ ^ man ^èresj comme composé de |(n — 1) n-gones, le premier
circonscrit au second, le second au troisième, etc., et le dernier au premier.
