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PROBLÈME DE GÉOMÉTRIE ANALYTIQUE. 
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on aura cette équation identique : 
F pp (U + V 2 ) KU-F pp (U) K (U + F 2 ) = (.F op Uy (5), 
qui subsiste même pour un nombre quelconque de variables. 
L’expression analytique du théorème consiste en effet en ce que les réciproques 
de deux surfaces du second ordre, circonscrites l’une à l’autre, sont deux surfaces du 
second ordre qui ont cette même relation. Car en prenant — , — , — pour les coordon- 
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nées d’un point, les équations de deux surfaces circonscrites l’une à l’autre sont 
ü= 0, | 
U+ F 2 = 0 J 
(6). 
Les équations de leurs réciproques polaires (par rapport à x 2 + ÿ 2 + z 2 + w 2 = 0) sont 
F pp ü = 0, F PP (U+ F 2 ) = 0, 
c’est-à-dire, et vertu du théorème qui vient d’être posé : 
Fpp U = 0, K {U V 2 ) F pp U(FppUy = 0 (7), 
où K (U + F 2 ) est constant ; c’est-à-dire les premières parties des équations ne diffèrent 
entre elles que par le carré de la fonction linéaire (F op U) ; ce qui prouve le théorème 
en question. 
Solution. 
Soient 
U+V 1 » = 0 et U + V: 2 = 0 
(8), 
les équations des deux surfaces, dont chacune est circonscrite à U — 0. Les expressions 
de Vj et F 2 sont 
F x = otjx + /3$ + 7^ + BjW, 
et F 2 = dope + /3,y + y 2 z + è. 2 w, 
et les lettres o lt o 2 écrites en bas se rapporteront à a lt /3 ly y lt 8 Ï et à ot 2 , /3 2 , y. 2 , S 2 
respectivement. Mettons de plus, pour abréger, 
K(U+vy) = K 1 ,\ 
K(ü+Vi) = K i: ) 
Les polaires des deux surfaces ont pour équations 
K, F^ (U) + (F 0iP U) 2 = 0, | 
K 2 Fpp (U) + (.F 02 pU) 2 = 0, j 
(10). 
(H), 
et ces surfaces polaires se rencontrent évidemment selon les courbes situées dans les 
plans exprimés par les équations 
•fK*Fo, P U± (12) ; 
équations qu’on peut écrire sous cette forme très simple : 
Fï p (U) = 0 (13).