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RECHERCHES SUR L’ÉLIMINATION, ET SUR LA THÉORIE 
DES COURBES. 
[From the Journal für die reine und angewandte Mathematik (Crelle), tome xxxiv. 
(1847), pp. 30—45.] 
En désignant par U, V, W, ... des fonctions homogènes des ordres m, n, p, &c. et 
d’un nombre égal de variables respectivement, et en supposant que ces fonctions soient 
les plus générales possibles, c’est-à-dire que le coefficient de chaque terme soit une 
lettre indéterminée : on sait que les équations TJ = 0, V = 0, W = 0, ... offrent une rela 
tion 0 = 0, dans laquelle les variables n’entrent plus, et où la fonction ©, que l’on 
peut nommer Résultant complet des équations, est homogène et de l’ordre np ... par 
rapport aux coefficients de U, de l’ordre mp ... par rapport à ceux de F, et ainsi de 
suite, tandis qu’elle n’est pas décomposable en facteurs. Cela posé, supposons que les 
coefficients de U, V, ... , au lieu d’être tous indéterminés, soient des fonctions quel 
conques d’un certain nombre de quantités arbitraires. Substituant ces valeurs dans la 
fonction 0, cette fonction sera toujours le Résultant complet des équations. Mais 0 
peut quelquefois être décomposable en facteurs, dont quelques-uns doivent être éliminés. 
En effet les coefficients de TJ, V, ... peuvent contenir des quantités £, rj, ... censées 
comme variables, et d’autres quantités a, /3, ... qui sont constantes, et il peut s’agir 
de la relation entre q, ... qui est nécessaire pour que les équations TJ =0, V = 0, &c. 
puissent subsister conjointement. Dans ce cas tout facteur A du résultant complet 0, 
qui ne contient pas les coefficients variables £, rj, ... , doit être rejeté. En supprimant 
ces facteurs, et exprimant par <î> le facteur qui reste, cette fonction est alors ce que 
nous nommerons Résultant réduit. Cependant les facteurs A, proprement dits, ne sont 
jamais des facteurs étrangers, et ce n’est qu’à cause du point de vue particulier, 
auquel on a envisagé la question, qu’ils ont été rejetés ; d’un autre point de vue ces 
facteurs auraient pu devenir le Résultant réduit. Nous les nommerons donc, à l’exemple 
de M. Sylvester, Facteurs spéciaux. 
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