53] RECHERCHES SUR L’ÉLIMINATION, ET SUR LA THÉORIE DES COURBES. 
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En mettant x, y, z à la place de /3Ç — yy, y % — aÇ, ay — /3%, devient une fonction 
de l’ordre n(n — 1) par rapport à x, y, z, et de l’ordre 2(n—l), comme elle l’était 
ci-dessus, par rapport aux coefficients de U. Nous désignerons cette nouvelle valeur de 
O par F U ; c’est-à-dire nous représenterons par F U le résultant réduit des équations 
TJ= 0, 
dU a dü dU „ 
°‘~£ +/3 */ +7 S' =0 ’ et 
xx -f yy + zz = 0, 
(3), 
F U étant une fonction des ordres n (n — 1) et 2 (n — 1) par rapport à x, y, z, et aux 
coefficients de U. On sait que l’équation F U = 0 est celle de la polaire réciproque de 
la courbe, par rapport à la conique auxiliaire x 2 + y 2 + z 2 = 0. 
Or les équations (2) peuvent être écrites aussi sous la forme 
.(4). 
U = 0, 
dU a dU dU . 
a ^ +/3 dÿ + ^ =0 ’ 
.dU dU „dU . 
t-& + v dy + t-S = 0 - ) 
Ici le résultant complet est de l’ordre n(n — 1) par rapport à a, /3, y, ou à y, £ 
(car ce résultant complet doit être comme ci-dessus fonction de ce même ordre de 
{3Ç — yy, y% — clÇ et ay — $%) et de l’ordre (n — 1) (3n — 1) par rapport aux coefficients 
de U. Le facteur spécial dans ce cas est donc une fonction de l’ordre 3 (n — l) 2 des 
coefficients de U, ' et il est facile de trouver sa forme ; car on satisferait aux équations 
(4) en posant 
d U _ dU . dU n ... 
"■ " (0); 
le résultant de ces équations, que nous désignerons toujours par K U, doit donc 
se présenter comme facteur spécial du résultant complet du système. Mais K U étant 
une fonction des coefficients de l’ordre 3 {n — l) 2 , elle est précisément le facteur spécial 
dont il s’agit. (Il est clair que l’équation KU=0 serait la condition nécessaire, pour 
que la courbe pût avoir un point multiple.) 
Reprenons le premier système. On satisfait à la dernière équation en écrivant 
x = olI -f %m, y = (31 + ym, z = yl+ Çm (6). 
Soient [I/], [E] ce que deviennent U, V par cette substitution. En éliminant l, m 
entre les deux équations 
[JJ] = 0, [F] = 0, 
on obtiendra le même résultant ® que ci-dessus. En effet, le résultant de ces deux 
équations est des ordres n et m par rapport aux coefficients de U et F, et de l’ordre 
2mn par rapport à a, ¡3, y, %, y, Ç: donc il faut qu’il soit égal à ®, à un facteur 
numérique près. On a donc le théorème suivant: 
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