344 RECHERCHES SUR L’ÉLIMINATION, ET SUR LA THÉORIE DES COURBES. [53 
donc [F] à la place de ce que devient Y après la substitution, il faut que l’on ait 
identiquement : 
[Y] = A U+N(RU), 
N étant fonction de a, /3, <y du degré n 2 — n — 6. Il paraît de plus probable que 
cette fonction aura la même forme que celle pour les points d’inflexion, savoir 
N — (ax + fîy + 7^) w ' 2_?t ~ 6 . (П17, comme ci-dessus VU, est censé exprimer non pas un 
produit, mais une dérivée de U: de même plus bas PU et QU.) Cela étant, IIÜ7 
sera du degré (n — 2)(n 2 — 9) par rapport à x, y, z {c’est-à-dire n 3 — 2n 2 — 10w +12 
— (тг 2 — — 6)}, et du degré n 2 + n—12 par rapport aux coefficients. On a donc le 
théorème suivant : 
Théorème. On trouve les points de contact de tangentes doubles, en combinant 
avec l’équation de la courbe une équation II U = 0 de l’ordre (n — 2) (n 2 — 9) par rapport 
aux variables, et de l’ordre n 2 + n —12 par rapport aux coefficients; c’est-à-dire, puisqu’il 
correspond deux points de contact à une tangente double, le nombre de ces tangentes 
est égal à \n (n — 2) (n 2 — 9) : théorème démontré indirectement par M. Plücker. 
Cherchons maintenant les équations du système des tangentes aux points d’inflexion 
et du système des tangentes doubles. 
Pour trouver la première équation, il faut éliminer x, y, z entre les trois équations 
TT —T-г dU dU dU 
U = 0, VU = 0, x-^+y-T-Uz — =0. 
dy 
dx 
dz 
Le résultant complet sera du degré 3n (n — 2) par rapport k x, y et z, et de l’ordre 
9?г 2 — 18n + 6 [savoir 3 (n — 2) (n — 1) + 3n {n — 1) + Sn (n — 2)} par rapport aux coefficients; 
mais il existe ici le facteur spécial (K U) 2 , et ce facteur étant éliminé, on obtient un 
résultant réduit QU = 0, du degré 3-n(n — 2) par rapport aux variables, et du même 
degré 3/i (n — 2) par rapport aux coefficients. 
De même on aura l’équation du système des tangentes doubles, en éliminant x, 
y, z, entre les trois équations 
¿7=0, 
11^=0, 
et 
dU dU dU 
x s + y % +z & 
Le résultant complet est ici du degré n (n — 2) (n 2 — 9) par rapport à x, y, z, et du 
degré 3n 4 — 5n 3 — 29n 2 + 57?i —18 {savoir (n — 1) (n — 2) (n 2 — 9) 4- n (n — 2) (n 2 — 9) + n (n — 1) 
(ri 2 + n —12)} par rapport aux coefficients. Mais il existe de même dans ce cas un 
facteur spécial (KU) n2 ~ n ~ 6 {du degré 3 (n — l) 2 (n 2 — n— 6) = Sri 1 — 9n 3 — 9w 2 + 33/i— 18}, 
et en l’éliminant, le résultant réduit sera du degré (n — 2) (n — 3) par rapport aux 
coefficients. Mais le terme de cette équation à gauche sera évidemment un carré; 
on aura donc pour l’équation du système des tangentes doubles, la relation PU = 0, 
où PU est une fonction du degré \n (n — 2) (n 2 — 9) par rapport aux variables, et du 
degré 2n (n — 2) (n — 3) par rapport aux coefficients. Donc on pourra former le tableau 
suivant des degrés des différentes équations obtenues :