53] RECHERCHES SUR L’ÉLIMINATION, ET SUR LA THÉORIE DES COURBES. 
345 
Equation de la courbe U =0, 
Condition d’un point multiple KU=0, 
Polaire réciproque F U = 0, 
Courbe des inflexions V U = 0, 
Courbes des contacts des tangentes doubles UU — 0, 
Systèmes des tangentes aux points d’inflexion Q U = 0, 
Système des tangentes doubles PU = 0, 
Degrés par rapport 
aux variables. 
aux coefficients. 
n 
1 
0 
3 (n- l) 2 
n (n — 1) 
2 (n — 1) 
3n (n — 2) 
3 
n — 2) (n 2 — 9) 
(n + 4) (n — 3) 
3n (n — 2) 
3n (n — 2) 
1T 
1 
w 
f 
w 
2n (n — 2)(n — l 
La polaire de la polaire réciproque FF U sera évidemment du degré (ri 2 — ri) (ri 2 — n — 1) 
par rapport aux variables, et du degré 4 (n — 1) (ri 2 — n — 1) par rapport aux coefficients. 
Cette polaire de la polaire contiendra, comme on le sait par la théorie géométrique 
développée par M. Plücker, les facteurs U, (PU) 2 et (QU) 3 -, il faut y ajouter encore 
le facteur constant K U, et l’on aura définitivement l’équation 
FF U=(KU) (PU) 2 (QU) 3 . Ui 
dans laquelle il sera facile à vérifier que les deux côtés sont des mêmes degrés par 
rapport aux variables et aux constantes. En effet on a 
4 (n — 1) (n 2 — n — 1) = 3 (n — l) 2 + 4n(n — 2) (n — 3) + 9n (n — 2) + 1, 
et n (n — 1) (ri 2 — n — 1) = n (n — 2) (ri 2 — 9) + 9n (n — 2) + n. 
Mon but a été ici de donner une idée précise des théorèmes à démontrer, pour 
former une théorie toute analytique des polaires réciproques ; je n’ai fait qu’avancer ces 
théorèmes (sans chercher à les démontrer), pour faire voir leur liaison avec la théorie 
de l’élimination et avec celle des hyperdéterminants ; c’est à cette dernière en par 
ticulier qu’il faut, je crois, recourir pour démontrer la formule donnée ci-dessus 
[ F] = A . U + (olx + ¡3y + <yz) n ' 2 ~ />l ~ fi (Il U), et pour trouver définitivement la forme de la 
dérivée YIU, au moyen de laquelle on déterminera les points de contact des tangentes 
doubles. Je serais bien aise que ces recherches puissent de quelque manière faciliter 
la solution du problème des réciproques des surfaces: objet, qui est resté encore dans 
une complète obscurité. 
Note sur les points d'inflexion. 
Je vais d’abord rassembler plusieurs formules qui se rapportent au système des 
coefficients dans le développement de P 2 U. On a 
D 2 U = aa 2 + b/3 2 + cy 2 + 2f/3y + 2gya + 2hot/3, 
où a = M 2 c - 2MNf+ N 2 b, 
b = N 2 a — 2 NLg + L 2 c , 
c = L 2 b — 2LMh + M 2 a, 
C. 
44