53] RECHERCHES SUR l’ÉLIMINATTON, ET SUR LA THÉORIE DES COURBES. 349 
Ici on a 
9 3 D 2 U = a 2 0 3 a + &c., 
9 3 a = 6 (dcdM 2 - 2dfdMdN + dbdN 2 ) + 6 [cdMd 2 M -f(dMd 2 N + dNd 2 M) + bd NV N), &c, 
et les deux lignes de cette expression se réduisent à 6d 2 U.dM, et à zéro, respective 
ment. En effet, en remplaçant dM, dN par leurs valeurs, le coefficient de f 2 dans la 
première ligne devient 6 (h 2 dc — 2ghdf + g 2 db) = 6a (bdc + cdb — 2fdf) (et à cause de 33 = 0. 
®=0, § = 0) = 6a9iH ; et également pour les autres termes. De même, le coefficient 
de | 2 dans la seconde ligne devient 6 {chdh—f(gdh + hdg)+ bgdg}. En y ajoutant 
S(h 2 dc — 2ghdf+g 2 db), savoir 3adgl, la somme se réduit à 39 (ch 2 — 2fgh + bg 2 ) = 39(a^ — V) 
= 3a9fft ; donc le coefficient en question s’évanouit. En cherchant de la même manière 
les autres coefficients, on trouvera les valeurs dont il s’agit, et ainsi 9 3 a = 6d 2 U. d&, 
&c. et de là d 3 D 2 U = 6 d 2 Ud'$ r ; donc enfin 
3 (n — 1 ) (n — 2) d 2 Ud'ii = — (ax -f- ¡3y + yz) 2 9 3 V U ; 
ce qui suffit pour démontrer le théorème, qui peut être énoncé comme suit : 
Théorème. “11 existe un point double de la courbe VU = 0, pour chaque point 
double de la courbe U = 0, et les deux courbes ont des tangentes communes dans 
ces points. De plus, il existe un point triple de la courbe VU =0, pour chaque point 
de rebroussement de la courbe U=0, savoir un point de rebroussement dont les deux 
branches touchent la tangente de la courbe U = 0, et encore une troisième branche, 
qui passe par le point de rebroussement.” 
Il suit de là que dans le cas d’un point double, ce point doit être considéré 
comme la réunion de six points d’intersection, et dans celui d’un point de rebrousse 
ment, de huit points d’intersection. C’est de cette manière que l’on se rend compte 
du théorème de M. Plücker qui dit que l’effet de ces deux singularités est de faire 
disparaître respectivement six ou huit points d’inflexion de la courbe donnée. 
Examinons, en finissant, la théorie des points d’osculation. Il est facile de voir que 
la condition d’un tel point (savoir d’un point dans lequel la tangente coupe la courbe 
en quatre points consécutifs) consiste en ce que d 3 U contient dU comme facteur, ou, 
autrement dit, que l’équation D 3 U=0 est identiquement vraie. On obtient ainsi dix 
conditions, qui se réduisent assez facilement à six ; mais pour les réduire à une seide 
condition, il faut prendre la dérivée, avec le symbole D de la valeur donnée ci-dessus 
de D 2 U. On doit cependant ne pas oublier que D. D 2 U, outre le terme D 3 U, contient 
aussi des termes que l’on obtient en faisant opérer les symboles d x , d y , d z sur les 
quantités L, M, N qui entrent dans D 2 U. Car il est convenu que les symboles 
d x , d y , d z dans D 3 U, ne doivent pas affecter les lettres L, M, N. Cependant il est 
remarquable que dans le cas actuel, ces termes se détruisent entièrement. En effet, 
en les désignant par fl, on obtient 
fl = 2D [(My — N(3) (ad L + hd M + gd A i) + (Na. — Lfi) (hd L + bd M + fd N ) 
+ (L/3 — My) (gd L +fd M + c9 A 0] .DU,