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NOTE Süll LES H YPERDÉTEltMINANTS. 
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et ainsi de suite : il ne reste qu’à déterminer la loi des coefficients numériques des 
facteurs à gauche. Pour cela, représentons par A, B, G, ... les coefficients de (l+s) 2i) , et 
par A', B', G', ... les coefficients de (1 — On aura pour ces nombres le système 
suivant : 
+ A'A, 
-A'B, 
-B'A, 
+ A'C, 
+ B'B, 
+ C'A, 
±7, 
±K, 
±L ... 
Les nombres 7, K, L ... de la dernière ligne seront à déterminer au moyen d’une autre 
règle : il faut faire évanouir les sommes des nombres dans la même ligne verticale, ces 
nombres étant pris avec leurs signes actuels. Je suis parvenu par induction à ces 
formules, mais il ne serait pas, je crois, très difficile de les démontrer directement. 
Il me paraît possible que tous les hyperdéterminants qui se rapportent à la fonction 
V, puissent être trouvés en éliminant entre les équations (en nombre de p) dont il s’agit, 
et cela dans le cas où U est de l’ordre 2p ou 2p +1 ; au moins cette règle se vérifie 
pour les fonctions de deuxième, troisième et quatrième ordres, et cela paraissait (à priori) 
moins probable pour les dérivées d’un degré plus élevé que pour celles du second degré, 
pour lesquelles, comme on vient de le voir, il est effectivement vrai. 
Cela étant, il y aura seulement un nombre p de dérivées indépendantes pour les 
fonctions du 2p lôme et du (2p + l) lème ordre: conclusion que je ne puis pas démontrer. 
II. Soit V = Gabcd + 3b 2 c 2 — a 2 d 2 — 4ac 3 — 46 3 7, et représentons par V 1 le déterminant 
formé avec les coefficients différentiels du second ordre de V par rapport à a, b, c, d, 
on aura 
V 1 = 3V- 
(propriété qui a un rapport singulier avec celle qu’a démontrée M. Eisenstein par rapport 
aux coefficients du premier ordre de la même fonction V). La démonstration que je puis 
donner de ce théorème est à la vérité assez compliquée, mais je ne vois pas d’autre. 
En mettant 
on obtient 
p = 
i (bd - c 2 ), 
g = H 6c 
— ad), r 
= §(ac- 
< 
II 
CO 
1—1 
a 2 , 
ab , 
ac — 3 r, 
ad + 9g 
ba , 
b 2 + 2 r, 
bc - g , 
bd — 3p 
ca — 3 r, 
cb - q , 
c 2 + 2p, 
cd 
da + 9 g, 
db — 3p, 
de , 
d 2 
où le déterminant ne contient que les termes du quatrième ou troisième degré en p, q, r, 
et en développant on a 
V x = 81 (9 (pr — q 2 ) 2 — 2a 2 /? 3 — 2d 2 r z — 12g (abp 2 + cdr 2 ) — 18g 2 (b 2 p + c 2 r) 
— G (pr + q 2 ) (acp + bdr) - 2adq (3pr — q 2 ) — 18bcq (pr + g 2 )], 
c. 45