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NOTE SUR LES HYPERDETERMINANTS. 
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d’où, en réduisant au moyen des expressions 
ap = — (2bq + cr), dr — — (2cg H- bp), ad = bc — 3g, 
on tire V 7 = 81 {9 (pr — g 2 ) 2 + 4 (b 2 p + 26cg + c 2 r) (p?’ 4- g 2 ) + 6g 2 (3pr — g 2 )], 
ou enfin, au moyen de 2 (b 2 p + 2bcq + c 2 r) = — 3pr : 
V l — 243 (pr - g 2 ) 2 = 3V 2 ; 
voilà l’équation qu’il s’agissait à démontrer. 
III. En considérant a : d, b : d, c : d comme représentants les trois coordonnées 
d’un point, ou, si l’on veut, des fonctions linéaires de ces coordonnées, l’équation V = 0 
appartient évidemment à une surface développable (de quatrième ordre). Mais la condi 
tion pour que l’équation U =0 (V étant une fonction homogène de quatre variables) 
appartienne à une surface développable, est, que le déterminant formé avec les coefficients 
différentiels du second ordre de la fonction, s’évanouisse (théorème de M. Hesse, t. xxvm. 
[(1844) pp. 97—107, “Ueber die Wendepunkte der Curven dritter Ordnung”]). Donc il faut 
que Vj s’évanouisse au moyen de V = 0, c’est-à-dire, il faut que V 1 contienne le facteur V ; 
ce qui s’accorde parfaitement avec l’équation qui vient d’être présentée. Mais il ne peut 
être prouvé de cette manière que l’autre facteur doit aussi se réduire à V, et même cela 
n’est pas vrai si V x vient d’une fonction d’un plus haut degré que le quatrième. 
Il suit de cela qu’en supposant toujours que les coefficients soient des fonctions 
dU dU 
linéaires des coordonnées, le résultat 0 = 0 de l’élimination de x, y entre = 0, = 0 
appartient toujours à une surface développable. De même l’élimination de x, y entre les 
trois équations , ^ = 0, f K- = 0, =0 conduit aux équations de l’arête de rebrousse- 
1 dx 2 dx dy dy- 
d s U d 3 U 
ment de la surface, et de plus, en éliminant entre les équations -^^=0, _ 7 __„ _ 7 = 0, 
dm? 
dx 1 dy 
¿3 d S ^ JA 
- — = 0, = 0, on obtient les points de rebroussement de l’arête de rebroussement. 
dxdy 2 dy 3 
Cela conduit à quelques résultats remarquables. 
Par exemple, la surface développable dont l’équation est 
V = Qabcd + 3 ê 2 c 2 — 4ac 3 — 4 b 3 d — a"d 2 , 
a pour arête de rebroussement la courbe dont les équations (équivalentes à deux équations 
seulement) sont bd — c 2 = 0, ad — bc = 0, ac — b 2 = 0, ce qui est une courbe du troisième ordre 
seulement. Car en considérant deux quelconques de ces trois équations, par exemple 
celles-ci : bd — c 2 = 0,ad — bc = 0, ces équations appartiennent à deux surfaces du second 
ordre qui ont en commun la droite d = 0, c = 0: cela s’accorde avec un résultat que j’ai 
donné dans mon mémoire sur les surfaces développables dans le journal de M. Liouville 
[t. X. (1845), 30]. 
Egalement, en considérant une équation de quatrième degré en t, on obtient une 
surface développable. 
(ae — 4<bd + 3c 2 ) 3 — 27 (ace + 2bcd — ad 2 — b 2 e — c 3 ) 2 = 0, 
qui a pour arête de rebroussement la courbe du sixième ordre exprimée par les équations 
ae — 4bd + 3c 2 = 0, ace + 2bcd — ad 2 — b 2 e - c 3 = 0. Je n’ai pas complètement réussi à expliquer