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SUR QUELQUES THÉORÈMES DE LA GÉOMÉTRIE DE POSITION. 
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sont situés dans les plans BGD, CDA', DA'B et A'BC respectivement ; et cela vérifie 
la relation dont il s’agit. Ce théorème est du à M. Mobius qui l’a obtenu par son 
Calcul Barycentrique (ce Journal, t. III. [1828], p. 273), et en considérant un système 
polaire dans lequel le plan réciproque d’un point quelconque passe toujours par le point 
même (Statik, c. vi. § 86, et ce Journal t. X. [1833], p. 317). On trouve aussi quelques 
remarques sur ce sujet dans l’ouvrage “ Systematische Entwickelungen u. s. w.” de M. 
Steiner, p. 247. Je ne croyais pas inutile d’en faire voir la relation avec la théorie 
de l’involution. Remarquons aussi que non seulement les quadrilatères ABCD et A'B'C'D', 
mais aussi ceux-ci ABCD' et A'B'GD, AGB'D' et A'C'BD, ADB'C et A'D'BG sont en 
rapport inverse entre eux. Par cela la symétrie de la figure est complétée ; mais on 
n’en tire pas de nouveaux systèmes de tétraèdres inscrits et circonscrits. 
M. Mobius a démontré qu’il n’existe pas des quadrilatères réels simples, à quatre 
côtés et quatre angles, inscrits et circonscrits. Mais en considérant les points imaginaires, 
l’existence en est possible, et on trouve des systèmes de cette sorte parmi les neuf 
points d’inflexion d’une courbe de troisième ordre. Je renvoie cette discussion à une 
autre occasion, § V. 
Je me bornerais, sans examiner de plus près la figure qui en résulte, à démontrer 
le théorème suivant : “ Si un point et n droites sont donnés, les points d’intersection 
de chaque droite avec la polaire du point, relative aux autres n — 1 droites, sont situés 
sur une même droite polaire du point, relative au système des droites.” Je prends un 
système de droites, considéré comme formant une courbe, et j’entends par polaire ou 
droite polaire, la dernière des polaires successives du point, relative à la courbe. En 
représentant analytiquement la courbe par V = 0, V est une fonction homogène d’un 
ordre quelconque en x, y, z ; et si a : ¡3 : 7 sont les valeurs de x : y : z relatives au 
point, l’équation 
(ad x + fidy + ydz)?- 1 U = 0 
est celle de l’une quelconque des polaires successives. 
Soit p — 0, q = 0, r = 0, ... les équations des droites, p, q, r, ... seront des fonctions 
linéaires de x, y, z. Soient comme plus haut x : y : z = a : /3 : 7 les équations qui 
déterminent le point : l’équation de la droite polaire du point, relative aux n droites, 
est 
{ad x + ¡3d y + yd^) n ~ l pqr ... =0. 
Soient a, b, c, ... ce que deviennent p, q, r, ... en écrivant a, /3, 7, ... au lieu de x, y, z, ... , 
on obtient aisément 
tâ x + ßd y + 7d z — adp + bd g + ... ; 
et de là on tire 
(ad p + bd q + cd r + .. .) w_1 pqr ... = 0, 
pour la polaire cherchée. Les différentiations étant effectuées selon p, q, r, ... , comme 
variables indépendantes, on obtient 
pbc ... + aqc ... + ... =0