65] NOUVELLES RECHERCHES SUR LES FONCTIONS DE M. STURM. 395 
formules dans lesquelles 
( V — ax n + bx n ~ x + cx n ~- + ... , 
■i V = nax n ~ x + n — 1 bx n ~ 2 + ... , 
[ TJ = bx n ~ 1 + 2cx n ~ 2 + ... , 
et où, en substituant ces valeurs, on peut commencer pour V 2 avec le terme qui contient 
x n ~ 2 , pour V 3 avec le terme qui contient x n ~ 3 , et ainsi de suite, puisque les termes des 
ordres plus hauts s’évanouissent identiquement. Yoilà, je crois, les expressions les plus 
simples des fonctions de M. Sturm. 
Je donnerai en conclusion ces formes développées des fonctions jusqu’à V 4 . 
V — ax n + bx n ~ Y + cx n ~ 2 + ... ; 
V = nax n ~ l + n — 1 bx n ~ 2 + n — 2 cx n ~ 3 + ... ; 
V 2 = — na \2cx n ~ 2 + 3dx n ~ 3 + ... 
+ b [n — 1 bx n ~ 2 + n — 2 cx n ~ 3 + ... ; 
V 3 = [2nabc — n — lb s ] {dx n ~ 3 + ex n ~ 4 + ... 
+ [ — 2n 2 ac + n — 1 ab 2 ] {4<ex n ~ 3 + hfx 71 ^ + ... 
+ [3na 2 d — (3n — 2) abc + (n — 1) b 3 ] {3dx n ~ 3 + 4ex n ~ 4 + ... 
+ [ — 3abd + 4ac 2 — b 2 c ] {{n — 2) cx n ~ 3 + (n — 3) dx ll ~ 4 + ... ; 
l r 4 = À \fx n ~ i + gx n ~ 5 + ... 
+ B \ex n ~^ + fx n ~ 5 + ... 
+ C [Qgx 71 ^ + 7hœ n ~ B + ... 
+ D {5fx n ~* + 6gx n ~ 5 + ... 
+ E [4ex n ~ 4 + 5fx n ~ 5 + ... 
+ F [n — 3dx n ~^ + n — 4<ex n ~ 5 + ... ; 
dans cette dernière expression j’ai mis, pour abréger, 
A = 9na?bd? — 8na?bce + (4n — 4) ab 3 e — (10/i — 12) ab‘ 2 cd 
+ (4n — 8) abc 3 — {n — 2) b 3 c 2 + (2n — 2) 5 4 ù, 
B = 10naïbcf — 12na 2 bde — 1 Qna 2 c 2 e + 18na 2 cd 2 — (5n — 5) ab : f 
+ (18w — 16) ab 2 ce + (3n — 9) ab 2 d 2 — (24?i — 36) abc 2 d + (8n — 16) ac 4 
— (3w — 3) b*e + (5n — 7) b 3 cd — (2n — 4) b‘ 2 c 3 , 
C = 8na 3 ce — 9na 3 d 2 — (4n — 4) a 2 b 2 e + (10w — 12) a 2 bcd 
— (4n — 8) a 2 c 3 — (2n — 2) ab 3 d + (n — 2) ab 2 e 2 , 
D = — 10 na 3 cf+ 12 na 3 de + {on — 5) a 2 l) 2 f— (2 n — 8) a 2 bce 
— (12n — 9) a 2 bd 2 + (4n — 12) a 2 c 2 d — (n — 1) ab 3 e + (9n - 9) ab 2 cd 
— (4n — 8) abe 3 — (2n — 2) b 4 d + (n — 2) b 3 c 2 , 
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