396 NOUVELLES RECHERCHES SUR LES FONCTIONS DE M. STURM. [65 
E = 1 ôna 3 df — 16na 3 e 2 — (15w — 10) a 2 bcf+ (17 n— 12) a 2 bcle 
+ (16n — 16) a 2 c 2 e — (15w —18) a 2 cd 2 + (on — 5) ab 3 f 
— (V7n — 18) ab 2 ce 4- (14n — 24) abc 2 d — (n — 3) ab 2 d 2 
— (4 n — 8) ac 4 + (3 n — 3) b 4 e — (3?i — 5) b 3 cd + (n — 2) b 2 c 3 , 
F — — 15a 2 bdf+ 16a 2 be 2 + 20 a 2 c 2 f— 27a 2 d 3 — 4<8a 2 cde 
— 5ab 2 cf+ 7ab 2 de — 4<abc 2 e — 18 abcd 2 + 4 ac 3 d 
— 3 b 3 ce 4- 4<b 3 d 2 — b 2 c 2 d 2 . 
Il serait évidemment inutile de vouloir pousser plus loin ces calculs. 
[MS. addition in my copy of Liouville. 
Quoique ces expressions soient ce qu’il y a de plus simple pour le calcul numérique 
des fonctions de M. Sturm, cependant sous le point de vue analytique il convient de 
modifier un peu la forme de ces expressions. En effet en écrivant 
V = ax 11 + y bx n ~ 2 + ... , 
mettons 
P = ax n ~ x + — ^ bx n ~ 2 + ... , = ax n ~ 1 + ô\ bx n ~ 2 4- ... , 
Q = bx 11 1 4- cx n ~ 2 4- ... , = bx n ~ x 4- 9, cx n ~ 2 4- ... , 
l’on aura 
V' = nP, 
U' = nQ, 
V = Px + Q ; 
et cela donne après une réduction légère 
V„ = 
Vx — 
P, Q 
a b 
V>=- 
xP. P, 
a 
9 x b a 
9x 0Jj 
X 2 P, 
xP, 
P, 
x 2 Q, 
xQ, 
Q 
a 
b 
0J> 
a 
9xC 
b 
0x 
0J) 
a 
0x1 
9-fi 
b 
9 3 d 
0. 2 c 
0J> 
0 3 e 
0d 
0xC 
0 4 e 
e 3 d 
0. 2 c 
OJ 
9-.fi 
0d 
œQ> q 
b 
OjC b 
9d 6-fi 
et ainsi de suite.]