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66. 
SUR LES FONCTIONS DE LAPLACE. 
[From the Journal de Mathématiques Pures et Appliquées (Liouville), tom. xm. (1848), 
pp. 275—280]. 
J’ai réussi à étendre à un nombre quelconque de variables la théorie des fonctions 
de Laplace, en me fondant sur le théorème que voici : 
“Les coefficients l, m, ... , 1', m', ... étant assujettis aux conditions 
l 2 + m 2 + ... = 0, ] 
V‘ 2 + m' 2 + ... = 0, J ^ 
et les limites de l’intégration étant données par 
a? + y*+... = l (2), 
l’on aura pour toutes valeurs entières et positives de s, s', excepté pour s = s', 
J (Ix + my + ...)* (l'x + m'y + ...)*' dxdy ... = 0 (3), 
et pour s = s', 
J (Ix + my + .. .) s (l'x + m'y +...)* dxdy ... = N s (II' + mm' + .. .)* (4), 
en faisant, pour abréger, 
' 2<T(4m + s + l) w ’ 
(où n dénote le nombre des variables).” 
En admettant d’abord comme vrai ce théorème qui sera démontré plus bas, je 
remarque qu’il est permis d’écrire ^ ^ , ... , ~ ~ , ..., au lieu de l, m,..., l', m',..., 
où ces nouveaux symboles se rapportent à de certaines fonctions /, f de a, b, ... et de 
a', b', ... respectivement. De là ce nouveau théorème :