398 
SUE, LES FONCTIONS DE LAPLACE. 
[66 
“ Les fonctions f, f étant assujetties aux conditions 
Èf + *l + =0 
daï^db 2 ^ ’ 
da' 2+ db 2 + ’ 
1 
(6), 
on aura (entre les mêmes limites qu’auparavant), excepté pour s = s', 
d 
d 
da 1 u db 
d 
+ VTt, + •”) /• \ æ ÿd + V dp + ••• ) f • dxdy ...-0 
db' 
et pour s = s', 
d d \ s s f d d 
x ~ + y db + -) A \ x ^? + y di? 
da 
da' 
db' 
„ / d d d d 
= JSs \dâdâ' + db db' + "• 
. dxdxj... 
(7), 
•(8)-’ 
Il est facile de voir que les expressions 
d 
d 
X Ta +y db + 
X da ,+ y db , + ’"I ■' 
satisfont à l’équation 
du d 2 u _ 
dx 2 dy 2 " ’ 
• (9), 
et, de plus, quelles sont les fonctions entières et homogènes, des degrés s et s' respective 
ment, les plus générales qui puissent satisfaire à cette équation. On a donc ce théorème : 
“Soient V s , W g > les fonctions entières et homogènes des degrés s et s' respective 
ment, les plus générales qui satisfassent à l’équation (9) ; on aura toujours, excepté au 
cas de s = s', 
fVgWjdxdy ...=0 (10) 
(les limites étant les mêmes qu’auparavant).” 
Ecrivons à présent 
/= (a 2 + b 2 + .. .j-èm+i, 
valeur qui satisfait à la première des équations (8), et nous obtiendrons par la différen 
tiation successive, en faisant attention à la seconde de ces mêmes équations, 
/ d d d d 
\da da' db db' + 
...j (a 2 + b 2 + 
= (—) s 2 
V^n + s-1) 
r(in-l) 
' (a 2 + b 2 + ...)-i n ~ s+1 
...(h). 
)