66] SUR LES FONCTIONS DE LAPLACE. 
En représentant, comme auparavant, par W s la fonction 
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soit W 8 ce que devient W s en écrivant a, b, ... au lieu de x, y, ... , c’est-à-dire écrivons 
d 7 d 
v ’=( a M +b d« + -)> 
On déduit de là, et au moyen de l’équation (11), en substituant dans l’équation (8), la 
formule 
(-) s 
d d 
r(JTT) j r Ta + 'y db + • •• ■• ) (a ’ + l '-+ • ■• ■■ U” +I V ‘ dxd y ■ ■ ■ 
= M s (a 2 + à 2 + .,.)-hn-s+i Jf; 
en faisant, pour abréger, 
p ( s q_ i) jf — r 2* (¡b 1 + g 1) 
{+) s T (£w -1) ^ 
ou bien 
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F — 1) (w + 2s) (w + 2s — 2) 
•(12), 
.(13). 
Soit maintenant 
1 Qo Qs 
[(a-x) 2 + ...]i n_1 (a? + b 2 +...f n ~ l + (a 2 + b 2 + ...)^+ s “ 1 
ou, autrement dit, soit 
«• -rç+i) ( æ s + 4 + ■ ■ T (aî + 61 +• • • )- in+1 
l’équation (12) devient 
jQ s w s dxdy... = M s w; 
(14), 
(15), 
(16) 
{où la valeur de M s est donnée par l’équation (13)}. Les deux équations (10) et (16) 
contiennent la théorie des fonctions W 8 , Q s , lesquelles comprennent évidemment, comme 
cas particulier, les fonctions de Laplace. 
Pour démontrer le théorème exprimé par les équations (1), (2), (3), (4), (5), je fais 
d’abord abstraction des équations (1), et j’écris 
x= l'y + l"Ç..., 
y = m% + m'y + m!"Ç..., 
où les coefficients sont tels que l’équation 
x 2 + y 2 + ... =p% 2 + 2qÇy +p'y 2 4-p"Ç 2 + ...