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SUR LES FONCTIONS DE LAPLACE. 
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soit identiquement vraie. Cela suppose que les valeurs de p, p, q soient respectivement 
P + + ..., l' 2 + m' 2 + ..., et IV + mm’ + ..., et que les sommes de produits telles que 
U” + mm” + ..., l’I” + m’m” + ... se réduisent chacune à zéro. De là 
dxdy ... = Vpp’ — q 2 *Jp" ... dgdydÇ..., 
Ix + my + ... =p% + qy, 
Vx + m'y + ... = q% + p'y- 
En représentant par I l’intégrale au premier membre de l’équation (3), cela donne 
I = \fpp’ - <f \!p” ...J (p£ + qrj) s (qÇ+p'yf dÇ dy dÇ..., 
l’équation des limites étant 
p£ 2 + Zq£v + p'y 2 +p"Ç~ + ... = 1. 
Cette intégrale se simplifie en écrivant 
^ Xp + \/p = V ~^p = Vn = Z'> 
car alors 
*Jpp r — q 2 Vp" ... df dy dÇ... = d%, dy / dÇ,. . ., 
pÇ + qv = Vp£, 
qÇ +p'i7 = i (îl + ^PP' ~ q 2 v), 
yp 
et de là 
I=p i ls ~ s ' ] Jf,* (q£, + ^pp - q 2 v,Y dÇ, dy y dÇ,..., 
l’équation des limites étant 
f; + v+- = i- 
En supposant s > s’, l’intégrale s’évanouit pour p = 0, et de même quand s' > s, elle 
s’évanouit pour p' = 0. Donc, en écrivant p = 0, p' =0, on aura toujours, excepté pour 
s = s’, l’équation I = 0 ; ce qui revient à l’équation (3). Au cas de s = s', en écrivant de 
même p = 0, p' = 0, on trouve 
I = q s J V (f/ + ^/) s d% t dy, dÇ,... 
(où, comme à l’ordinaire, i = V — 1). En faisant attention à la valeur de q, et en com 
parant avec l’équation (4), cette dernière équation sera démontrée en vérifiant la formule 
Soient pour cela 
=J V (£/ + ir iy dÇ, dy, dÇ,.... 
%, = p COS 6, y,= p sin 6.