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SUR LES DÉTERMINANTS GAUCHES. 
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Or les déterminants gauches et symétriques (savoir les déterminants dont les termes 
satisfont aux conditions (2)) se réduisent à zéro pour un n impair, et pour un n pair 
aux carrés des fonctions que M. Jacobi a traitées dans son mémoire “ Ueber die Pfaff’- 
sche Integrations-Methode ” (t. II. [1827], p. 854, de ce journal) et dans le mémoire 
“Theoria novi multiplicatoris aequationum differentialium” t. xxix. [1845], p. 236, &c. 
En effet, on voit d’abord (par ce que dit M. Jacobi) que le déterminant s’évanouit 
pour un n impair, et que pour un n pair il aura pour facteur la fonction dont il 
s’agit ; mais je ne sais pas si l’on a déjà remarqué que l’autre facteur se réduit à la 
même fonction. 
On obtient ces fonctions (dont je reprends ici la théorie), par les propriétés générales 
d’un déterminant, défini de la manière que voici : en exprimant par (12 ... n) une 
fonction quelconque dans laquelle entrent les nombres symboliques 1, 2et par ±, 
le signe correspondant à une permutation quelconque de ces nombres, la fonction 
S ±(12 ...n) 
(où X désigne la somme de tous les termes qu’on obtient en permutant ces nombres 
d’une manière quelconque) est ce qu’on nomme Déterminant. On pourrait encore 
généraliser cette définition en admettant plusieurs systèmes de nombres 1, 2 
1', 2',... n'] ... qui alors devraient être permutés indépendamment les uns des autres; 
on obtiendrait de cette manière une infinité d’autres fonctions, mentionnées (t. XXX. [1846] 
p. 7). Dans le cas des déterminants ordinaires, auquel je ne m’arrêterai pas ici, on aura 
(12 ... n) = X a>1 2 ••• X K .n- Pour les cas des fonctions dont il s’agit (les fonctions de 
M. Jacobi), on supposera n pair, et l’on écrira 
(12 ... n) = X 1-2 A,3 4 ... X n _ lj n , 
où \ r _ s sont des quantités quelconques qui satisfont aux équations (1). La fonction sera 
composée d’un nombre 1.2 ... n de termes ; mais parmi eux il n’y aura que 1.3 ... {n — 1) 
termes différents qui se trouveront répétés 2*" (1.2 ... ^n) fois, et qu’on obtiendra en 
permutant cycliquement d’abord les n — 1 derniers nombres, puis les n — 3 derniers 
nombres de chaque permutation, et ainsi de suite ; le signe étant toujours +. U 
pourra être démontré, comme pour les déterminants, que ces fonctions changent de signe 
en permutant deux quelconques des nombres symboliques, et quelles s’évanouissent si 
deux de ces nombres deviennent identiques. De plus, en exprimant par [12...w] la 
fonction dont il s’agit, la règle qui vient d’être énoncée, donnera pour la formation de 
ces fonctions : 
[12 ... iî\ — Xj 2 [34 ... ?i] + Xj 3 [4 ... n — 2] ... + X lp n [23 ... (n — 1)]. 
Cela posé, revenons aux déterminants gauches et symétriques; et soit d’abord n un 
nombre impair. Alors le déterminant sera composé de plusieurs termes, chacun multiplié 
par le produit de l’une des quantités X 1-2 , X 13 , ... X 1-n par une des quantités \ 21 , X 3-1 ,... X n-1 . 
Il est facile de voir que pour chaque terme, multiplié par X lp a \p êl (a =4 /3), il existera 
un terme égal et de signe contraire, multiplié par X l j3 X a-1 . Or — X a-1 X x donc 
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