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SUR LES DÉTERMINANTS GAUCHES. 
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ces deux termes se détruiront. Restent les termes multipliés par X 1-a X al : le coefficient 
d’un terme de cette forme sera un déterminant gauche de l’ordre n — 2, mais précisé 
ment de la forme du déterminant même de l’ordre n dont il s’agit. Or n étant impair, 
n — 2 le sera également : donc tout déterminant gauche et symétrique s’évanouira, si 
cela a lieu pour les déterminants pareils d’un ordre inférieur de deux unités. Or pour 
n=o on a évidemment X 1-2 A„ 3 X 3a + X 2 iX 3 2 M 3 = 0, donc: 
“ Tout déterminant gauche et symétrique d’un ordre impair est zéro.” 
Soit maintenant n un nombre pair. Considérons le déterminant gauche et symétri 
que plus général qu’on obtient en donnant à r les valeurs a, 2, 3,...n, et à s les 
valeurs /3, 2, 3, ... n. En développant cette fonction comme on vient de le faire dans 
le cas d’un n impair, il se présentera d’abord un terme multiplié par Mais ce 
terme sera un déterminant gauche et symétrique de l’ordre n — 1 (savoir celui que l’on 
obtiendrait en donnant à r, s les valeurs 2, 3, ... n), et comme n — 1 est impair, ce 
terme s’évanouira. Puis le coefficient de — X a . a 'X^. ^ (ou de X a-a 'X^ -|8 ') sera le détermi 
nant gauche et symétrique qu’on obtient en donnant à r les valeurs 2, S, ...n (a excepté), 
et à s les valeurs 2, 3,...n (/3' excepté). En admettant que ce déterminant gauche 
se réduit à [(a' +1) ... n 2 ... (a' — 1)] [(/3' + 1) ... n 2 ... (/3' — 1)], on aura 
Xa. a [(a' + !)...(«'- 1)] . V tf [(/3' + 1) ... OS' - 1)] 
pour le terme général, et la somme de tous ces termes se réduira à 
{X a . 2 [34 ... n\ + X a . 3 [4 ... n2\ + ...). |Xj3 1 2 [34 ... ri\ + Xyg 3 [4 ... r?2] + ...}, 
ou enfin à [a23 ... n] [/323 ... n]. Or si le théorème en question a lieu pour n — 2, 
il aura lieu aussi pour n. Pour w = 2 le déterminant est X a ^ X 2 2 — X 2 p X a . 2 , c’est-à-dire 
X a ,2 Xj3_2 ou \ol2\ . [/32] : donc la même chose a toujours lieu et on obtient le théorème 
que voici : 
“ Le déterminant gauche et symétrique qu’on obtient en donnant à r les valeurs 
a, 2, 3,... n, et à s les valeurs /3, 2, 3,... n (où n est pair), se réduit à 
[«23... n], [/323 ...n]; 
et en particulier, en donnant à r, s les valeurs 1, 2,...n, ce déterminant se réduit à 
[12 ... -n] 2 .” 
Appliquons ces théorèmes à la réduction de l’équation (3). En supposant pour 
plus de simplicité X r r = l, on aura pour un n pair: 
il = [123 ... n] 2 + [34 ... w] 2 + [56 ... ri] 2 + ... + 1 ; 
-r [24 ... n] 2