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SUU QUELQUES THÉORÈMES DE LA GÉOMÉTRIE DE POSITION.
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l’arrangement 135, 426, 789. Le premier de ces triangles est circonscrit au second; car
les côtés 26, 61, 12 contiennent respectivement les points 4, 8, 9 ; également le second
est circonscrit au troisième ; et le troisième au premier. On tire encore du même
arrangement 135, 426, 789 un autre système pareil de triangles; savoir 189, 435, 726.
Pareillement les arrangements 129, 483, 756 et 186, 459, 723 donnent lieu chacun à
deux systèmes analogues. Donc :
Théorème XVI. La figure formée par neuf points situés 3 à 3 dans 9 droites
peut être considérée, de six manières différentes, comme composée de trois triangles
circonscrits cycliquement l’un à l’autre.
Représentons maintenant par 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 les neuf points d’inflexion
d’une courbe du troisième ordre (six de ces points seront nécessairement imaginaires).
Ces points sont, comme on sait, situés 3 à 3 dans douze droites qui passent récipro
quement quatre à quatre par les neuf points, et qui peuvent être représentées par
135, 426, 789 ; 129, 483, 756 ; 186, 459, 723 ; 147, 258, 369 ;
de sorte que ce système est un cas particulier de celui que nous venons de considérer.
En considérant deux quelconques des droites qui ont un point en commun, par exemple
147, 186, et les deux autres droites qui passent par ce même point 135, 129, on obtient
par là deux quadrilatères 4876 et 3952 qui ont pour centre commun le point 7 et
dont chacun est circonscrit à l’autre. On aurait pu obtenir par ces mêmes droites
147, 186, 135, 129 des autres systèmes pareils ; donc
Théorème XVII. Huit points quelconques, parmi neuf points d’inflexion d’une
courbe du troisième ordre, peuvent être considérés de trois manières différentes comme
formant deux quadrilatères circonscrits l’un à l’autre. Les diagonales de ces six
quadrilatères se réduisent à quatre droites qui passent par le neuvième point d’inflexion.
§ VI. Sur les figures réciproques.
Soient £ : co, r] : ü), p : co les coordonnées d’un point. Les deux plans définis par
les équations
(a Ç + brj + cp + d co) x
+ (a + b' g c p 4~ d co) y
+ (a' / Ç + b" v + c"p + d"œ) z
4- (a"'f + b"' v + c"'p + d'"œ) w
seront les plans réciproques du point donné
= 0, et
(af + a'rj + a"p 4- a"'w) x è
+ (bÇ + b' v + b"p + b'"co) y !
+ (c£ + cfi + c"p + c"' co) z
4- (d^-\- d 7) 4- d p-t-d co) w J
= 0,
Il peut arriver que le plan réciproque d’un point quelconque passe par ce point
même ; ce qui implique aussi l’identité des deux plans réciproques. Ce cas particulier
a été l’objet des recherches de M. Möbius. Je parlerai dans la suite des réciproques
de cette espèce en les appelant Réciproques gauches.
Mais généralement, pour que les plans réciproques d’un point passent par ce point
même, il faut que le point soit situé sur une certaine surface du second ordre ; et
