SUR QUELQUES THEOREMES DE LA GEOMETRIE DE POSITION.
417
70]
plans sera égal au rapport anharmonique des quatre points ; ce qui suffit pour déterminer
le point Q, puisque les quatres plans et les trois autres points sont donnés, et la
construction graphique pour déterminer ce point Q est parfaitement connue. Il est
d’ailleurs évident que la droite menée par un point donné, de sorte qu’elle rencontre
des droites réciproques gauches l’une à l’autre, est située dans la réciproque gauche
de ce point. Donc, en menant par le point q la droite qui rencontre les deux droites
AC et BD, le plan passant par cette droite et par le point Q, est la réciproque gauche
du point q qu’il s’agissait de trouver 1 . Egalement, on pourrait construire la réciproque
gauche d’un plan donné.
Donc enfin, pour trouver les réciproques d’un point de la première surface :
(A) “ Construisez le plan tangent à ce point de la première surface, et construisez
de la manière expliquée ci-dessus, la réciproque gauche du point. Par la droite d’inter
section de ces deux plans menez deux plans tangents à la seconde surface : ces deux
plans seront les réciproques qu’il s’agissait de trouver.”
On pourra construire d’une manière analogue les réciproques d’un plan tangent de
la première surface. En effet :
(B) “ En construisant les réciproques du point de contact avec la première surface
du plan dont il s’agit, les points de contact avec la seconde surface, de ces deux
plans, seront les réciproques dont il s’agissait.”
Egalement, pour trouver les réciproques d’un plan tangent donné de la seconde
surface :
(C) “ Construisez le point de contact de ce plan avec la seconde surface, et con
struisez la réciproque gauche de ce même plan : la droite menée par ces deux points
rencontrera la première surface dans deux points qui seront les réciproques que l’on désirait.”
Et pour trouver les réciproques d’un point de la seconde surface :
(D) “ Construisez les réciproques du plan tangent passant par le point donné de
la seconde surface : les plans tangents à la première surface passant par ces deux points,
seront les réciproques qu’il s’agissait de trouver.”
En effet les théorèmes (C, D) ne sont que des transformations des théorèmes
(A, B) au moyen de la théorie des polaires réciproques.
Enfin, pour trouver les réciproques d’un point quelconque, menez par ce point trois
plans tangents ou à la première ou à la seconde surface, et construisez les réciproques
de ces plans au moyen du théorème (B ou C) : les deux plans menés par ces points
réciproques, pris trois et trois ensemble, et combinés de manière que l’intersection des
deux plans coïncide avec l’intersection de la polaire par rapport à la première surface
et de la réciproque gauche du point donné, selon la remarque ci-dessus, seront les
réciproques cherchées ; et de la même manière pour les réciproques d’un plan quelconque.
1 II y a un cas très simple qui mérite d’être considéré ; savoir celui où le point P coïncide avec A.
Dans ce cas Q coïncide aussi avec A, et la réciproque gauche de q se réduit au plan qAC. De même, si
les points P, B coïncident, la réciproque gauche de q se réduit au plan qBD.
C.
53