ADDITION AU MÉMOIRE SUR QUELQUES
478
[81
tangentes simples qui passent par le point de rebroussement. Ajoutons que la tangente
au point de rebroussement est la droite x—w.
En supposant que la conique à transmuter passe à la fois par les deux points
P et Q, nous aurons
a + S — 0, /3 + 8 = 0.
Ici les deux points doubles (x = w, y = z), (y =w, x = z), identiques dans ce cas avec les
points P, Q, deviennent des points de rebroussement, les droites QR, RP, PQ ne sont
plus des tangentes doubles proprement dites, mais les droites RP, PQ sont les tangentes
simples qui passent par les deux points de rebroussement respectivement, et la droite PQ
est la droite menée par les deux points de rebrousseinent. Ajoutons que les tangentes
aux deux points de rebroussement respectivement sont les droites x = w et y = w.
On sait qu’un cercle quelconque peut s’envisager comme conique qui passe par
deux points fixes, savoir [les points circulaires à l’infini, c’est-à-dire] les points où
l’infini, considéré comme droite, est rencontré par les deux droites imaginaires aux
quelles se réduit un cercle évanouissant quelconque. En nommant ces droites les
axes imaginaires de leur point d’intersection, prenons pour les droites PQ, PR les
axes imaginaires d’un point quelconque P, et pour la droite QR l’infini. Cela étant,
un cercle quelconque sera transmuté dans une courbe du quatrième ordre ayant
deux points de rebroussement aux points où l’infini est rencontré par les axes imagi
naires du point P, ou, ce qui est la même chose, d’un point quelconque, et ayant
de plus un point double. Et le point P, comme point d’intersection de deux axes
imaginaires tangents de la courbe, est un foyer de la courbe (voyez le Mémoire de
M. Plücker: TJeber solche Punkte die bei Curven liohern Ordnung als der zweiten den
RrennpunJcten der Kegelschnitte entsprechen, Journal de M. Crelle, t. x. [1833] pp. 84—91).
Cela suffit pour faire voir que la courbe est un limaçon de Pascal ayant le point P
pour le foyer qui n’est pas le point double. En effet, prenant pour vrai le théorème ;
“Les ovales de Descartes ont deux points de rebroussement aux points où l’infini est
rencontré par les axes imaginaires d’un point quelconque x ,” comme cela revient à huit
conditions, et qu’un ovale de Descartes peut être déterminé de manière à satisfaire à
six conditions (ce qui fait en tout quatorze conditions, nombre des conditions qui
déterminent une courbe du quatrième ordre), toute courbe du quatrième ordre avec
deux points de rebroussement, tels que nous venons de les mentionner, sera un ovale
de Descartes, et si, de plus, la courbe du quatrième ordre a un point double, elle
se réduira en limaçon (cas particulier, comme on sait, des ovales de Descartes). Donc,
en résumé, tout cercle est transmuté dans un limaçon ayant un point fixe pour le
foyer qui n’est pas le point double, théorème qui se rapporte à la méthode de
M. Roberts pour le cas n = ^. L’on doit cependant remarquer que cette méthode est
due à M. Chasles. En effet, on trouve dans la Note citée de Y Aperçu historique,
non-seulement la propriété des droites de se transmuter en des paraboles, mais aussi
1 M. Chasles a remarqué en passant (Note XXI. de VAperçu historique [Bruxelles, 1839]) que les ovales
de Descartes ont deux points conjugués imaginaires à l’infini, théorème moins complet que celui que je viens
d’énoncer. Pour la démonstration du théorème complet, voyez la Note à la suite de ce mémoire.
