520 NOTE SUR QUELQUES FORMULES RELATIVES AUX CONIQUES. [90 
et les quantités a, b, c, f, g, h seront données par l’équation 
ax 2 + ... = A (fa — yy) 2 + (3), 
ou, si l’on veut, par celle-ci : 
aa?#! + ... = A (fiz - yy) (/3z x - yy x ) + (4), 
(savoir, en considérant ces équations comme identiques par rapport à x, y, z et x 1} y x , z x 
respectivement). 
On obtient sans difficulté les équations identiques: 
(Aaa x + ...) (Axx x + ...)-(Aaæ+ ...)(Aa 1 x 1 + ...)= & (fa x - yy x ) (fa - y x y) + ... , (5), 
(@Lol<x x + ...) (®xx x +...)- ffiax + ...) (^0,®! + ...) = K [A (fa - yy x ) (fa - y x y) + ...] (6). 
Comme on sait, la condition sous laquelle la droite Ix + my + nz = 0 touche la 
conique U= Ax 2 + ... = 0 peut être présentée sous la forme @ll 2 +...= 0. Donc la con 
dition pour que cette droite touche la conique U + (ax + fa + y z) 2 = 0, est 
@U 2 + ... +A (ym — fa) 2 + ... =0 (7). 
En réduisant au moyen de l’équation (ita 2 + ...) (&l 2 + ...) = K [A (ym — fa) 2 + ... ] (laquelle 
n’est qu’un cas particulier de l’équation (6)), cette condition devient: 
(K + gta 2 + ...) fail 2 +...)- (®d + .. .) 2 = 0 (8). 
Pour trouver la condition sous laquelle les coniques 
U + (ax + fa + y zf = 0, U + fax + fa + Yi z) 2 = 0 
se touchent, on n’a qu’à remarquer que l’équation de la tangente commune est, ou 
(oc-a 1 )x + ((3-fay + (y-y 1 )2: = 0, ou (a + a,) x + (/3 + fa y + (y + Yi) z = 0. 
En ne considérant que la première de ces droites, on a pour la condition cherchée : 
&('x-cc x ) 2 + ... + A (fa x - fa) 2 + ...-0 (9) ; 
ou, en réduisant au moyen du même cas particulier de l’équation (6), on obtient cette 
condition sous la forme 
(K + &a 2 + ...) (K + ®a 2 +...)- (K + gtacq + ...) 2 = 0 (10). 
On sait que les coordonnées X, Y, Z du pôle de la droite Ix + my + nz = 0, par 
rapport à la conique U= 0, peuvent être trouvées par l’équation 
\X + ¡jlY + vZ = + ... ,