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NOTE SUR L’ADDITION DES FONCTIONS ELLIPTIQUES. 
[94 
= (1 - afyW) (xYZT + yZTX + zTXY + tXYZ) 
— {(a — x 2 — y 2 — z 2 — t 2 + y 2 z 2 t 2 + z 2 t 2 x 2 + t 2 x 2, y 2 + x 2 y 2 z 2 — ax 2 y 2 z 2 t 2 ) 
x (Xyzt + Yztx + Ztxy + Txyz)}. 
2) = 1 — a?y 2 — x 2 z 2 — x 2 t 2 — y 2 z 2 — z 2 t 2 — t 2 y 2 — (x 2 y 2 + x 2 z 2 + x 2 t 2 + y 2 Z 2 + z 2 t 2 + t 2 y 2 ) x 2 y 2 z 2 t 2 
+ x i y i z i t i + a (cc 2 y 2 z 2 + y 2 z 2 t 2 + z 2 t 2 x 2 + t 2 x 2 y 2 ) + a. (x 2 + y 2 + z 2 + t 2 ) x 2 y 2 z 2 t 2 
+ (2 — 2a' 2 ) x 2 y 2 z 2 t 2 
— (x 2 Y 2 + y 2 X 2 ) ztZT - (x 2 Z 2 + z 2 X 2 ) ytYT - (x 2 T 2 + t 2 X 2 ) yzYZ 
- (y 2 Z 2 + z 2 Y 2 ) xtXT - (z 2 T 2 + t 2 Z 2 ) xyXY - (t 2 Y 2 + y 2 T 2 ) xzXZ. 
Il y a à remarquer qu’en employant la première valeur de $(w + î> + w +p) et le 
facteur correspondant, on aurait trouvé le même numérateur, et aussi le même dénomi 
nateur, ce qui donne lieu à des équations identiques, semblables à celles qui ont lieu 
pour le cas de trois arcs. 
Revenons à l’expression 
x, x s , X 
y, V 3 , Y 
z, z\ Z 
{yZ + zY) (zX + xZ) (xY + yX) 
(y 2 — z 2 ) {z 2 — x 2 ) (x 2 — y 2 ) 
qui donne le numérateur de S (u + v + w). En mettant x 2 — a, jX = A, &c. on voit 
rC 
qu’il s’agit d’effectuer la division de 
1, a, A 
1, b, B 
1, c, C 
(B + C)(C + A)(A + B) 
par le produit (b — c)(c — à)(a — b), les fonctions A, B, G dénotant des racines carrées 
de fonctions rationnelles d’une forme particulière. Or, en supposant toujours que les 
carrés de A, B, G soient des fonctions rationnelles, et d’ailleurs d’une forme quelconque, 
cela peut se faire dans tous les cas particuliers au moyen de l’équation identique 
1, a, A 
1, b, B 
1, c, G 
(B + C) (C + A) (A + B) 
1, 
a, 
A 2 
(A 2 + B 2 + C 2 + BC + CA A AB) - 
1, 
a, 
A 4 
1, 
b, 
B 2 
1, 
b, 
B 4 
1, 
c, 
G 2 
1, 
c, 
C 4