554
NOTE SUR QUELQUES THÉORÈMES DE LA GÉOMÉTRIE DE POSITION. [95
donc la table (©) se re'duit à
ac.be. df, ac . bf. de, ac .bd. ef,
ba.ce.df, ba.cf.de, ba.cd.ef
cb.ae.df cb.af.de, cb.ad.ef
et la table (D) à
be.df bf.de, bd.ef
ce. df cf. de, cd .ef,
ae. df, af. de, ad. ef\
et les points de la première colonne verticale de cette table sont situés sur la droite
ed. ef, ceux de la deuxième colonne verticale sur la droite fd .fe, et ceux de la troisième
colonne verticale sur la droite de. df: l’existence de l’une quelconque de ces droites
fait voir la vérité du théorème dont il s’agit.
Pour démontrer le théorème (/3), considérons à part un quelconque des points
abc, abd, abe, abf ; par exemple le point abf On peut envisager ce point comme
déterminé par les droites ab. af, ab. bf et ces droites contiennent :
ab . af les points bf. ac, bf. ad, bf. ae,
ab. bf „ „ af. be, af. bd, af. be.
Or bf.ac et af.bc sont situés sur la droite ab.de. cf] bf.ad et af .bd sur la droite
ab.ec.df; et bf.ae et af.be sur la droite ab.cd.ef. De plus, les points bf.ac,
bf.ad, bf.ae sont situés sur les droites ab.bc, ab .bd, ab.be respectivement, et les
points af.bc, af .bd, af.be sont situés sur les droites ab. ac, ab.ad, ab. ae respectivement.
Donc on peut représenter les points de la droite ab. af par les symboles
(ab . de. cf) (ab . bc), (ab . ec. df) (ab . bd), (ab. cd. ef) (ab . be),
et les points de la droite ab .bf par les symboles
(ab . de. cf) (ab . ac), (ab . ec . df) (ab. ad),
(ab . cd. ef) (ab . ae).
Maintenant
Les droites
ab . bd, ab . ae
ab . be, ab . ac
ab .bc, ab . ad
de même que les droites
ab . be, ab . ad,
ab.bc, ab.ae,
ab . bd, ab . ac,
se rencontrent sur la droite
ab .de.cf,
ab. ec . df
ab . cd. ef,
c’est à dire, il existe un système de trois hexagones dont les côtés sont
(ab.
. de.
of
ab.
.ec
.df
ab
.cd.ef
ab.
. bc,
ab.
bd,
ab.
be),
(ab.
, de.
■cf
ab.
, ec .
■df,
ab.
. cd. ef,
ab.
ac,
ab.
. ad,
ab,
. ae),
(ab.
bc
3
ab .
. bd
3
ab .
be ■. ,
ab.
ac,
ab.
, ad,
ab,
. ae).
