152 DEUXIÈME MÉMOIRE SUR LES FONCTIONS DOUBLEMENT PÉRIODIQUES. [130 
ou enfin 
{2k + l(B + ^)-B / }a^ /3,(p, /*),; 
et de même 
{2k + l(B-/3)-B / }Cl = -/3 / (v, X); 
équations qui seront bientôt utiles. 
Je suppose d’abord que 2k + 1 soit égal à l’unité, transformation que l’on peut 
nommer triviale. La fonction yx est définie par l’équation 
yx = ë~^ Bxi xYl jl + , mod. ( m > n )<T, T = oo ; 
dans (ra, n) = mil + nT, les entiers ra, n doivent prendre toutes les valeurs positives 
ou négatives (le seul système ra = 0, n — 0 excepté) qui satisfont à l’inégalité 
mod. (ra, n) < T, 
dont le second membre T sera ensuite supposé infini. Soit y, x la fonction corres 
pondante pour les périodes il,, T, ; on aura 
Or 
(ra, n) / = mil, + nT,, 
= ra (Xfî 4- pT) + n (zdl + pT), 
= (Xra + vn) il + (pra + pn) T, 
= ra,il + n,T, 
= n )- 
En écrivant, comme nous venons de le faire, 
ra, — Xra + vn, 
n, = vm + pn, 
on voit tout de suite qu’à chaque système de valeurs entières de ra, n, correspond 
un système, et un seul système, de valeurs entières de ra,, n/, et que de même à 
chaque système de valeurs entières de ra,, n n correspond un système, et un seul système, 
de valeurs entières de ra, n ; de plus, les systèmes ra = 0, n = 0 et ra, = 0, n, = 0, 
correspondent l’un à l’autre. Il est donc permis d’écrire 
les limites comme auparavant ; car, à cause de