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154 DEUXIÈME MÉMOIRE SUR LES FONCTIONS DOUBLEMENT PÉRIODIQUES. [130 
Donc enfin, en représentant par Jx l’une quelconque des fonctions yx, gx, Gx, Zx, 
on aura 
J t x = Jx, 
où J t x est ce que devient Jx au moyen d’une transformation triviale (propre et 
régulière) des périodes. 
Je passe à présent à la transformation pour un nombre impair et premier (2k +1) 
quelconque ; mais pour cela on a besoin de connaître la valeur de la fonction 
u' = U 1 + 
, mod. {{m, n) + y] < T, T = oo , 
(m, w)+yj 
où y = a + bi est une quantité réelle ou imaginaire quelconque. 
Soit u ce que devient u' en prenant pour la condition par rapport aux limites 
mod. (m, n) < T, T = go ; 
on trouve sans peine 
?/ _ ABx 2 +Bxy Y ( X J y) 
y (y) ' 
Pour trouver u', je forme l’équation 
u : u' = Il {1 + 
(m, n)j ’ 
la limite inférieure du produit infini double étant 
mod. {(ra, n) + y) > T, 
et la limite supérieure 
mod. (ra, n) < T, T = oc ; 
cela donne 
lûg U — log U' = xS\ ; VU 4 X 2 51 (7 \ To + • • 
6 & (ra, n) + y 2 ^ {(ra, n) + y] 2 
= x 51 -—-—r — 4 (x 2 + 2yx) 51 7—+ • • • , 
^ (ra, n) " v if J ^ ( Wj n y 
= x 51 
(ra, n) ’ 
car on peut démontrer que 
^ (ra, n) 2 ^ (m, n) 3 ^ C ' 
Pour cela, observons que ra et n étant infinis puisque T l’est, la première des sommes 
dont il s’agit peut se remplacer par l’intégrale double 
r dm dn 
I 
(ra, nf ’ 
13 
dei 
d’o 
en 
ce 
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ou, 
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Or, 
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