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DEUXIÈME MÉMOIRE SUR LES FONCTIONS DOUBLEMENT PÉRIODIQUES. [130 
Cela fait voir que 
u' = e~ kx u, 
le coefficient k étant donné au moyen de l’équation 
£ _ V 1 
* {n, m) ’ 
où la somme est prise, comme auparavant, entre les limites 
mod. {(w, n) + y) > T, mod. (m, n)<T, T = oo . 
Mais il n’est pas permis d’écrire 
k = 
fi 
dmdn 
(m, n) ' 
En effet, cette intégrale n’est que le premier terme d’une suite dont il faudrait, pour 
obtenir un résultat exact, prendre deux termes ; le second terme de la suite serait 
une intégrale prise le long d’un contour, et il serait, ce me semble, très-difficile d’en 
trouver la valeur. Pour trouver la valeur de k, je remarque que k sera fonction 
y 2 
linéaire des quantités T, y, y*, ^, &c., qui entrent dans les valeurs de r ; donc, 
puisqu’en dernière analyse T=cc, k ne peut être que de la forme Ly + My*. Cela 
étant, en substituant pour u' sa valeur, je forme l’équation 
y (æ+y) _ p(—By+Ly+My*)x TT 
y (y) 
1 + 
(m, n) + yy 
et j’écris successivement 
mod. {(m, n) + y] < T, T — oo, 
y = liî, y = ¿T, 
ce qui donne pour les valeurs correspondantes du produit infini double e~^ Bx2 . gx et 
€~^ Bx2 . Gx ; en comparant les valeurs ainsi obtenues avec les équations qui donnent les 
valeurs de y (x + £fl), y (x + £T), on trouve 
L = 0, M = 
mod. (wv — co'v) ’ 
ou enfin, 
y0 e +y) - ¿-u** c (~ Bÿ+ ^d. èl'w*)* njj 
y (y) 1 O, n) +yj ’ 
+ • 
mod. {(m, n) + y] < T, T = oo , 
laquelle est l’équation qu’il s’agissait d’établir. Il est à peine nécessaire de faire la 
remarque que pour y = 0, on doit considérer à part le facteur 1 + ^, lequel multiplié * 
par y (y) devient tout simplement x\ l’équation subsiste donc dans ce cas.