162 DEUXIÈME MÉMOIRE SUR LES FONCTIONS DOUBLEMENT PÉRIODIQUES. [130 
J’ajoute, sans m’arrêter pour les démontrer, quelques formules de transformation 
pour le nombre 2; je trouve d’abord 
T,=T, 
f y t x = i®,- 25 )® 2 yx gæ, 
g,X=€ ~ lBl ÏB)X ‘ 
g(æ- £fì) g (x + £il) 
g 2 (i ß ) 
G t x = e _i Q æ 
y r _ (B,-2B)X* Z ( X — 1^) Z ( æ + 
' z 2 an) 
Ces équations donnent, en introduisant les fonctions elliptiques, ÿx, fx, Fx données au 
moyen de 
Zx ’ 
S' 
Fx = 
Gx 
Zx’ 
les équations 
/> = 
iÆ. = chxfe- 
F,x * Fx’ 
f(œ-ito)f(x + i£l) 
P(№) 
dont la seconde peut encore s’écrire sous la forme 
/> = 
1 
/»an) ^ 
1 + e 2 c 2 </> 2 (iH) ’ 
et les deux équations combinées ensemble conduisent sans peine à la valeur des 
modules c,, c r On trouve en effet, en mettant comme à l’ordinaire b 2 = c 2 + e 2 , 
c 2 = 46c, 
et puis 
= (6 - cf, 
<f>,x = 
1 — C (c — 6) (f) 2 X 
(f)X fx 
J. 1 — c (c + 6) 6 2 x 
f '^ 1-0(0-b)^’ 
F x = — 
‘ 1 — C (c — 6) (j) 2 X ’ 
formules qui correspondent à celles de la transformation de Lagrange. Les équations 
pour y t x, Z t x donnent encore une valeur de f> t x, laquelle, égalée à la valeur qui vient 
d’être trouvée, donne 
yX gX Z 2 Qiî) _ (f)X fx 
Z(x— ^Î2) Z (x + ^iî) 1 — c (c — 6) </> 2 æ ’