_ 
[131 
NOUVELLES RECHERCHES SUR LES COVARIANTS. 
165 
TS. 
KLVii. (1854), 
iction des co- 
¿y)\ 
lier où 0 est 
nation 
131] 
Il faut donc que le covariant 0 satisfasse à l’équation 
0(ao , > ai,... a n '; x, y) = 0(a o , Oj,... a n ; x + \y, y), 
laquelle peut aussi être écrite comme suit : 
<f>(a 0 ', ai,...a n '; x-\y, 2/) = 0(a o , (h,... a»; x, y) (Z) 
De même, en faisant 
(a 0> a n ) (;r, ¡ix + y)’ 1 = (cC, ai',... a„') (#, y) w , 
ce qui donne 
N 
üi n — a n , 
®n—1 = ®n—1 + ¡X(-l n > 
0*11—2 = o n —2 4" 2/z<x n _ 1 + a n , 
&c. 
le covariant 0 doit satisfaire aussi à l’équation 
0(oo\ Oi', •••Œn'; -/^ + y) = 0(a o , a lt ...a n ; x, y); (7) 
et réciproquement, toute fonction 0 homogène par rapport aux coefficients et aussi par 
rapport aux variables, qui satisfait à ces équations (X, Y), sera un covariant de la 
fonction donnée. 
Examinons d’abord l’équation (X) que je représente par 0' = 0. Soit pour le 
moment, ai—a 1 = \0L 1 , ai — a a = \a 2 > &c., alors on aura, comme à l’ordinaire, l’équation 
symbolique 
0 / = g’MASin + a 2 9« 2 ... +a n a «„-2/3*)0 ) 
où les quantités a lt a 2 , &c., en tant quelles entrent dans a lf &c., ne doivent pas 
être affectées par les symboles d ai , d tt2 , &c. de la différentiation. En substituant les 
valeurs de a 1) ot 2 , ...,et en ordonnant selon les puissances de A, cette équation donne 
0 , = e*Q+* ! q 1 ...+A"Dn-i-A2/a* ( j }> 
où les symboles □, Cfi, &c. sont donnés par 
□ 
♦ 
ç. 
= a 0 3a, + 2 a 1 0 Bf 
= CZ-o + Sda d a3 
... + na n -id an , 
n.n — 1 ^ 
• • ■ H J 2 2^^) 
Ç«-i — ®o ) 
et les quantités cq, a 2 , &c., en tant qu’elles entrent dans les symboles □, Di, &c., ne 
doivent pas être affectées par les symboles 3 ai , 0 ff2 , &c. de la • differentiation. Il est 
assez remarquable que l’équation symbolique peut aussi être écrite sous la forme plus 
simple 
0' = gMD—y9 x ) 0,