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131] NOUVELLES RECHERCHES SUR LES CO VARIANTS. 167 
sont censées 
Le développe- 
rête pas sur 
uffit de faire 
uations dont 
as puissances 
et réciproquement toute fonction, homogène par rapport aux coefficients et par rapport 
aux variables, qui satisfait à ces équations, est un covariant de la fonction donnée. 
Par exemple, Yinvariant <j> = ac — b 2 de la fonction ax 2 + 2bxy + cy 2 satisfait aux 
équations 
(ad b + 2 bd c ) <£ = 0, (2 bd a + cd b ) 0 = 0, 
Le, triple, &c. 
, $2 > • • • &c., 
ne pas être 
le contraire 
■épétitions de 
iboles. 
et le covariant cf> = (ac-b 2 )x 2 +(ad— bc)xy + (bd - c 2 )y 2 de la fonction ax 3 +3bx 2 y+3cxÿ 2 +dy s 
satisfait aux équations 
(ad b + 2bd c + 3cd d - yd x ) 0=0, (Sdd c + 2cd b + bd a - xd y ) 0 = 0. 
Il est clair qu’en ne considérant que les fonctions qui restent les mêmes en prenant 
dans un ordre inverse les coefficients a 0 , oq, ... a n et les variables x, y, respectivement, 
les covariants seront définis par l’une ou l’autre des équations (J.), et qu’il n’est plus 
nécessaire de considérer les deux équations. Cela posé, on trouve assez facilement les 
de suite. Il 
= 0 ; et cette 
issent d’elles- 
t à l’équation 
covariants par la méthode des coefficients indéterminés. Mais il y a à remarquer une 
circonstance de la plus grande importance dans cette théorie, savoir, que l’on obtient 
de cette manière un nombre d’équations plus grand qu’il n’en faut pour déterminer 
les coefficients dont il s’agit. Ces équations cependant, étant liées entre elles, se réduisent 
au nombre nécessaire d’équations indépendantes. 
Cherchons par exemple pour la fonction ax* + 3bx 2 y + 3cxy 2 + dy 3 un invariant 0 de 
la forme 
0 = Aa 2 d 2 + Babcd + Gac 3 + Cb 3 d + Db 2 c 2 , 
contenant les quatre coefficients indéterminés A, B, G, D. En substituant dans l’équation 
(ad b + 2bd c + 3cb d ) 0 = 0, on obtient 
(3G + 2B) ab 2 d + (3B + 6G+ 2D)abc 2 + (6 A + B) ac 2 d + (SG + 4D) b 3 c = 0 ; 
insi démontré 
) 0 = 0 ; donc 
or les quatre équations données par cette condition, se réduisent à trois équations 
indépendantes, de sorte qu’en faisant par exemple A = —1, les autres coefficients seront 
déterminés, et l’on obtient le résultat connu : 
0 = — a 2 d 2 + Qabcd — 4ac 3 — 4 b 3 d + 3 b 2 c s . 
La circonstance mentionnée ci-dessus s’oppose à résoudre de la manière dont il 
s’agit, le problème de trouver le nombre des invariants d’un ordre donné : problème 
qui a toujours bravé mes efforts. 
w 
Avant d’entamer la solution des équations (A), je vais démontrer quelques propriétés 
générales des covariants, et des invariants. Pour abréger, je me servirai du mot pesanteur, 
en disant que les coefficients a 0 , a 1} &c., ont respectivement les pesanteurs 0 — \n, 1 — \n, 
&c., que les variables x, y ont respectivement les pesanteurs J, — et que la pesanteur