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NOUVELLES RECHERCHES SUR LES COVARIANTS. 
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□ s .^. g = 0, cj> = y s .e a y.A s . 
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d’un produit est égale à la somme des pesanteurs des facteurs. Cela posé, je dis que 
tout covariant est composé de termes dont chacun à la pesanteur zéro. Pour démontrer 
cela, j’écris : 
(□ — yd x ) (□ — xd y ) = □□ — yd x □ — xd y □ + xy d x d y + yd y , 
(□ — xdy) (□ — yd x ) = □□ — yd x □ — xdy □ + xy d x d y + xd x ; 
cela donne 
(□ —yd x ) (□ — xdy) — (□ — xdy) (□ — yd x ) = □□ — □□ + yd y — xd x ; 
or, en faisant attention aux valeurs de □, D, savoir 
□ □ = (□□) + na 0 d au + 2(n - 1 )a 1 0 (li ... + n 1 a n ^d an _ x , 
□ □ = (□□) + n. 1. a x d üi ... + 2 (n - l)a n - x da n _ x -\-\ . na n d ttn , 
où, en formant les produits (□□), (□□), les quantités a 0 , a 1} ... a n sont censées non 
affectées par les symboles d aQ , da x , ... d a ^ de la différentiation, on en tire 
□ □ — = n a 0 3a o + (n — 2)^3« ... — na n d an 
= - 2 {(0 - in)a 0 d a(i + (1 - %n)a x da x + ln)a n d a } = - 2®, 
en représentant par © l’expression symbolique entre les crochets. De là enfin on obtient : 
(□ - yd x ) (□ - xdy) - (□ - xd y ) (□ - yd x ) = - 2 (© + \xd x - \yd y ). 
Or en supposant les deux parties de cette équation symbolique appliquées au covariant 
<f) 1> la partie gauche de l’équation s’évanouit en vertu des équations (A) et l’équation 
se réduit à 
(© + \xd x — %ydy)<l> = 0 ; (B) 
ce qui est une nouvelle équation à différences partielles, à laquelle satisfait le covariant 
</>. Il est aisé de voir que cette équation exprime le théorème énoncé ci-dessus, 
savoir que tout covariant est composé de termes de la pesanteur zéro. 
Il suit de là, en considérant un covariant 
(¡> = (A 0 , A x , ... A s ){x, y) s 
qu’un coefficient quelconque Ai aura la pesanteur i — ^s, ou bien que les pesanteurs 
forment une progression arithmétique aux différences 1, et dont les termes extrêmes 
sont — |s, +•£$. 
Substituons maintenant cette valeur de <£ dans les équations (^1). La première 
équation donne d’abord : 
QA X = A 0 , nA 2 = 2-d. 1} ... (ot) 
Cela est un système qui équivaut aux deux équations