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NOUVELLES RECHERCHES SUR LES CO VARIANTS. 
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En faisant A. — — — 1 , ce qui donne a 0 ' = 0, on voit sans peine que l’on satisfera à 
l’équation, en mettant pour </> une fonction quelconque de quantités a 0 ', a/, ... a n ' t 
x + \y, y ; le nombre de ces quantités étant n + 2. Et cela est la solution générale de 
l’équation. 
Ce résultat doit être substituée dans la seconde équation, savoir dans (□ — xd y )<f>=0. 
Pour cela, imaginons que les quantités a 0 , a 1} ... a n , x, y soient exprimées en fonction 
de a 0 ', a 2 , ... a n ', x, y et dj ; puisque <£ est fonction des seules quantités a 0 ', a 2 ... a n ', 
æ > V> l’équation résultante doit être satisfaite, quelle que soit la valeur de cq. Or on 
trouve que cette équation résultante a la forme L + Ma 1 = 0: donc il faut qu’on ait 
à la fois les deux équations Z=0, M = 0. (Je renvoie à une note les détails de la 
réduction.) En dernière analyse, et en remettant dans les équations L = 0, M = 0 les 
quantités a 0 , a 2 , ..., a n au lieu de a 0 ', a 2 , ..., a n ', je trouve les résultats suivants très 
simples, savoir, en écrivant 
© = (0 - \n)a 0 d % + (2 - %n)a 2 d a2 + (3 - %n)a s da 3 in)a n d aji : 
*□ = Sa 2 d a + éa 3 d a ... +na n _ 1 d a , 
*□ = (n — 2)a 3 d a ^ + (n - 3) a 4 9« ... + a n d an i . 
Les équations dont il s’agit sont 
{(w - l)o,(•□ - yd x ) - Oo(*D - xd y )}<j> = 0, (G) 
(© + \x'd x — \yè y )§= 0, (D) 
et il y a à remarquer qu’on obtient l’équation (G) en éliminant entre les équations 
(A) le terme 9 ai <£ ; et puis, en mettant = 0, on tire l’équation (JD) de l’équation 
(B) , en y mettant de même a a = 0. Il y a à remarquer aussi que la fonction </> qui 
satisfait aux équations (G, D), est ce que devient un covariant quelconque <$>, en y 
mettant — 0. On obtient d’abord la valeur générale en changeant a 0 , a 2 , ..., a n en 
a 0 ', a 2 , , a n ', et en mettant après pour ces quantités leurs valeurs en termes de 
a 0 , a 1} a 2 , ..., a n . La solution du problème des covariants serait donc effectuée si l’on 
pourrait intégrer les équations (G, B). 
Or la quantité a 0 entre dans l’équation (G) comme constante, et l’on voit sans 
peine que cette équation pourra être intégrée en mettant a 0 = 1 ; puis, en écrivant dans 
le résultat —, 0/3 , ... a ~ au lieu de a 2 , a 3 , ... a n , et en multipliant par une puissance 
a 0 a 0 a 0 
quelconque de a 0 , le résultat ainsi obtenu, serait composé de termes de la même 
‘pesanteur; et en choisissant convenablement la puissance de a 0 , on pourrait faire en 
sorte que ces termes fussent de la pesanteur zéro. Mais l’équation (D) ne fait qu’exprimer 
que la fonction </> est composée de termes de la pesanteur zéro; le résultat obtenu de 
la manière dont il s’agit, satisfera donc par lui-même à l’équation (D), et il est 
permis de ne faire attention qu’à l’équation (G). Dans la pratique on intégrera cette 
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