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NOUVELLES RECHERCHES SUR LES COVARIANTS. 
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équation en ayant soin de faire en sorte que les solutions soient de la pesanteur zéro, 
ce qui peut être effectué en multipliant par une puissance convenablement choisie de 
a 0 . Et puisqu’en faisant abstraction de cette quantité a 0 , l’équation (C) contient n +1 
quantités variables, savoir a 2 , a 3 , ..., a n , x, y, la fonction 0 sera une fonction arbitraire 
de n quantités ; et en supposant que cette fonction ne contienne pas les variables 
x, y (cas auquel 0 serait ce que deviendrait un invariant quelconque en y mettant a x = 0), 
0 sera une fonction arbitraire de n — 2 quantités. 
La même chose sera évidemment vrai, si l’on rétablit la valeur générale de a x : 
donc tout invariant sera une fonction d’un nombre n — 2 d’invariants, que l’on pourra 
prendre pour primitifs; et tout covariant sera une fonction de ces invariants primitifs 
de la fonction donnée (laquelle est évidemment un de ses propres covariants), et d’un 
autre covariant que l’on peut prendre pour primitif. Cela ne prouve nullement (ce qui 
est néanmoins vrai pour les invariants, à ce que je crois) que tout invariant est une 
fonction rationnelle et intégrale de n — 2 invariants convenablement choisis, et que tout 
covariant est une fonction rationnelle et intégrale (ce qui en effet n’est pas vrai) de 
ces invariants, de la fonction donnée, et d’un covariant convenablement choisi. 
Le cas n = 2 fait dans cette théorie une exception. On sait qu’il existe dans ce 
cas un invariant, savoir ac — b 2 qui, selon la théorie générale, ne doit pas exister, et 
il n’existe pas de covariant, hormis la fonction donnée elle-même. Or cette particularité 
peut être aisément expliquée. 
Le cas n — 3 rentre, comme cela doit être, dans la théorie générale. En effet, il 
existe dans ce cas un invariant, savoir la fonction — a 2 d 2 + Qabcd + 4ac 3 — 4b 3 d + 3b 2 c 2 
ci-dessus trouvée, et tout covariant de la fonction peut être exprimé par cet invariant 
de la fonction donnée elle-même, et par le covariant (ac— b 2 )x 2 + (ad— bc)xy+ (bd —c 2 )y 2 
ci-dessus trouvé. Il en est ainsi par exemple pour le covariant de troisième ordre 
par rapport aux variables et aux coefficients ; car en représentant par d> le co 
variant dont il s’agit, par H le covariant du second ordre, par u la fonction donnée 
ax? + 3 bx 2 y + 3 cxy 2 + dy 3 et par V l'invariant, on obtient l’équation identique 
<ï> 2 + [ypi 2 = — 4H 3 . Je fais mention de cette équation, parce que je crois qu’elle n’est 
pas généralement connue. 
Je vais donner maintenant quelques exemples des équations (G et D). Soit d’abord 
n= 3, et supposons que 0 ne contienne pas les variables x, y : 0 sera une fonction 
de a, c, d, et les équations reviendront à 
(Qc 2 d d — add c ) 0 = 0, (— 3 ad a + cd c + 3 dd d ) 0 = 0. 
Les quantités ac 3 , a 2 d 2 , dont chacune est de la pesanteur zéro, satisfont par là à la 
seconde équation, et en mettant cf> = Aa 2 d 2 + Cac 3 , on obtient 4A — G = 0, en vertu de 
la première équation ; ou en faisant A = — 1, cela donne G = — 4 ; de là on tire 
0 = — a 2 d 2 — 4ac 3 , et la solution générale est 0 = F(— a 2 d 2 — 4ac 3 ), F étant une fonction 
quelconque. La formule plus générale <p = F(a, —a 2 d 2 —4ac 3 ) satisferait sans doute à la