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[131 
esanteur zéro, 
nt choisie de 
contient n +1 
ion arbitraire 
les variables 
ettant a x = 0), 
aérale de a x : 
e l’on pourra 
ants primitifs 
ants), et d’un 
ment (ce qui 
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i, et que tout 
pas vrai) de 
=i. 
dste dans ce 
>as exister, et 
particularité 
En effet, il 
- 4 b 3 d + 3b 2 c 2 
cet invariant 
y + (bd — c 2 ) y 2 
oisième ordre 
ir d> le co- 
îction donnée 
m identique 
qu’elle n’est 
Soit d’abord 
une fonction 
par là à la 
en vertu de 
e là on tire 
une fonction 
ls doute à la 
131] 
NOUVELLES RECHERCHES SUR LES COVARIANTS. 
173 
première équation, mais pour que cette valeur satisfasse à la seconde équation, il faut 
que la quantité a, en tant qu elle n’est pas contenue dans — a 2 d 2 — 4ac 3 , disparaisse. 
Ainsi la valeur donnée ci-dessus, savoir ф = 5(- a 2 d 2 - 4ac 3 ), est la solution la plus 
générale des deux équations. 
•a • b 2 , 3bc 2b 3 .. . , _ 
Jtcrivons a, c — —, a— I—- au lieu de a, c, d, et ф au lieu de ф, nous obtenons : 
tv CL CL 
ф = 5(— a?d? + Qabcd — éac 3 — 4b 3 d + 3b 2 c 2 ) ; 
ce qui est l’expression la plus générale des invariants de la fonction ax 3 +3bx 2 y+3cxy 2 +y s , 
et l’on voit que tous ces invariants sont fonctions d’une seule quantité que nous avons 
prise ci-dessus pour l’invariant de la fonction de troisième ordre dont il s’agit. 
Soit encore n = 4>, ф sera une fonction de a, c, d, e qui satisfait aux équations 
{2add c + (ae — 9c 2 ) d d — 12cdd e ] ф = 0, 
{— 2a9 a + dd d + 2ед е } ф = 0, 
dont la solution générale est ф = F(ae + 3c 2 , ace — ad 2 - c 3 ), F étant une fonction quel 
conque. On voit par là qu’il n’existe que les invariants indépendants ae — 4cd + 3c 2 , 
ace + 2bcd — ad 2 — b 2 e — c 3 . Ce résultat est connu dej3uis longtemps. 
Soit enfin n = 5, ф sera une fonction de a, c, d, e, f qui satisfait aux équations 
{3add c + (2ae — 12c 2 ) d d + (af— 16cd) d e — 20ce9/} ф = 0, 
{— §ad a — T;C0 c + \dd d + |еЭ е + -f/Э/] ф = 0. 
On sait qu’il y en a une solution de quatrième ordre par rapport aux quantités 
a, c, d, e, f; et en prenant la fonction la plus générale dont les termes ont la pesanteur 
zéro, on aura: 
ф = Aa 2 f 2 + Bacdf+ G ace 2 + Dad 2 e + Ec 3 e + Fc 2 d 2 : 
fonction qui satisfait d’elle-même à la seconde équation. En substituant cette valeur 
dans la première équation, on trouvera que les coefficients A, B, &c. doivent satisfaire 
à ces sept équations : 
25 + 2(7 — 40A = 0, 35 + 5 = 0, 30 + 45=0, -125 + 5 = 0, 
95-245 + 45-32(7- 205 =0, 65-165=0, -245-165=0, 
qui se réduisent cependant (ce que l’on n’aurait pas facilement deviné par la forme 
des équations) à cinq équations indépendantes. En faisant donc A = 1, on trouve 
aisément les autres coefficients 5, C, &c. et on obtient ainsi : 
ф = a 2 f 2 + 4acdf+ 16ace 2 — 12ad 2 e + 48c 3 e — 32c 2 d 2 : 
valeur qui peut être tirée d’une formule présentée dans mon mémoire sur les hyper- 
déterminants, [16], en y faisant 6 = 0.