SUR UN THÉORÈME DE M. SCHLÀFLT. 
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133] SUR UN THÉORÈME DE M. SCHLÀFLT. 183 
-à-dire l’équation 
u autrement dit, 
la valeur de ce 
La démonstration donnée dans le mémoire cité est, on ne peut plus, simple et 
élégante. Elle repose d’abord sur un théorème connu (démontré au reste § 6) qui 
peut être énoncé ainsi ; savoir, en supposant que les équations U = 0, V = 0, ... soient 
satisfaites, on aura (près un facteur indépendant de f, y,...): 
210 —t (p% + qy ...y, 530 = t' (pÇ + qy ...y, &c. 
Puis, elle est fondée sur le théorème démontré (§ 12), savoir : le résultant des 
fonctions 
t (pÇ+qy ...y +f (£, y ...), 
t' (p£ + qy ...y +/'(£, y ...), 
je qui donne les 
(où f /',... sont des polynômes de degrés y, y, ... en £, y, &c., et p, q,..., t, t',... 
des constantes quelconques) sera, en supposant que y ne soit plus petit qu’aucun autre 
' j’en forme le 
des indices y, y,..., et en posant iT = yy..., tout au plus du degré - par rapport 
aux quantités t, t’, &c. Voici cette démonstration, qui suppose aussi que le résultant 
</> soit indécomposable. Supposons que les coefficients de U, V, W, ... soient assujettis 
à la seule condition d’être tels que le résultant <£ soit un infiniment petit du premier 
ordre, il sera permis de supposer que tous ces coefficients des indéterminées x, y, ... 
ne diffèrent des valeurs qui satisfont aux équations U = 0, V = 0, W = 0, ... que par des 
incréments infiniment petits du premier ordre ; le résultant </> sera un infiniment petit 
du premier ordre, mais toute autre fonction des coefficients, à moins qu’elle ne contienne 
une paissance de <£ comme facteur, aura une valeur finie, et toute fonction des 
coefficients infiniment petite de l’ordre k contiendra 4> k comme facteur. Dans cette 
supposition les équations 2l</> = 0, 53<£= 0, &c. deviendront: 
i donne, dans le 
t(pÇ + qy...y +f (£ y...) = 0, 
t (pÇ + qy ...f' +/(£ y...)=0, 
J, V, W,... que 
onômes x l y m z n ,... 
e ces monômes), 
lui des monômes 
S, ..., opérant sur 
>artient), donnent 
arme x-fy°z h .... 
où f, f',... sont des polynômes de degrés fi, y, ... dont les coefficients sont des 
infiniment petits du premier ordre. En supposant toujours que y ne soit plus petit 
qu’aucun autre des indices ¡a, y!, ... et en posant nr = yy ..., <r = — + —..., le résultant O 
y y 
du système sera tout au plus du degré — par rapport aux quantités finies t, t',.... Le 
/ L 
opérant sur ce 
ions 2(</>, 23<£, ..., 
ons de £, y, &c. 
0 /i ne soit plus 
degré par rapport à tous les coefficients est cr ; le degré par rapport aux coefficients 
de f. f',... sera donc au moins cr —— ; c’est-à-dire, ce résultant sera un infiniment 
J J y 
petit de l’ordre cr — —, ou enfin, contiendra 0 <7_7r : ^ comme facteur. Or les coefficients 
P 
+ ..., l’indice de 
de TJ, V, Tf,... (assujettis à la seule condition ci-dessus mentionnée) étant d’ailleurs 
arbitraires, on voit sans peine qu’il est permis de faire abstraction de la condition, et 
Schlàfli. 
que contiendra en général cette même puissance 0 <r_7r : ^ comme facteur ; ce qu’il 
s’agissait de démontrer.