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136] SUR LA TRANSFORMATION D’UNE FONCTION QUADRATIQUE &C. 
En effet, pour démontrer cjue cela est une solution, on n'a qu’à reproduire dans 
un ordre inverse le procédé de M. Hermite. En introduisant les quantités auxiliaires 
(£ V> ■••)> on P eu t remplacer l’équation par les deux équations 
a, h, g, ... 
h, b, f, ... 
g, f, c,... 
)( æ > y> 
••) = ( 
a, h + v, g — g, ... 
h — v, b, f + A, ... 
g + f — \ c ,... 
v> £ •••) 
a, h, g, ... 
h, b, f,... 
g> f> c,... 
)(x, y, z, 
••) = ( 
a, h — v, g + g,... 
h + v, b, f —X,... 
g-g, f+\ c ,... 
)(£. v, ç, •••) 
qui donnent tout de suite d’abord 
(0)(æ, y, z, ...)(£ V, £ ...) = ( 0X& v, £ 
et puis 
X + X = 2£, y + y = 2y, z + z = 2£ &c. 
On obtient par là : 
( 0 )(x, y, z, ...) 2 = ( 0 )(2|-x, 2*7-y, 2f-z, ...) 2 , 
= 4 ( 0 X£ ^ £ ...) 2 -4( 0 )(£ 97, £, ...X®, y, z, ...) 
+ ( 0 ){x, y, z, ...) 2 , 
c’est-à-dire l’équation 
( 0 )( x > y, Z, ...) 2 = ( 0 y, z, ...y, 
qu’il s’agissait de vérifier. 
Je remarque que la transformation est toujours propre. En effet, le déterminant 
de transformation est 
a, h, g ... 
—1 
a, h — v, g + g ... 
a, h + v, g — g ... 
—1 
a, h, g ... 
h, b, f ... 
h + v, b, f —X ... 
h-v, b, f+X... 
h, b, f ... 
g, f, c ... 
: 
g-g,f+\, c ... 
g + g,f-X, c ... 
g,f, c ... 
Or les déterminants qui entrent dans les deux termes moyens, ne contiennent l’un 
ou l’autre que les puissances paires de X, y, v, .... Donc ces deux déterminants sont 
égaux, et les quatre termes du produit sont réciproques deux à deux ; le déterminant 
de transformation est donc +1, et la transformation est propre. 
Pour obtenir une transformation impropre, il faut considérer une fonction quadratique 
qui contient outre les indéterminées x, y, z, ... une indéterminée 6, et puis réduire à 
c. 11. 25