136] 
EN ELLE-MÊME PAR DES SUBSTITUTIONS LINÉAIRES. 
195 
ce qui est l’équation pour la transformation propre en elle-même, de la fonction 
ax- + by- + cz 2 + &c. On en déduira, comme dans le cas général, la formule pour la 
transformation impropre. On trouvera des observations sur cette formule dans le 
mémoire “Recherches ultérieures sur les déterminants gauches” [137]. 
Je reviens à l’équation générale 
( 0 )(x, y, z, ...) 2 = ( 0 )(x, y, Z, ...y, 
et je suppose seulement que x, y, z, ... soient des fonctions linéaires de x, y, z, ... qui 
satisfont à cette équation sans supposer rien davantage par rapport à la forme de 
la solution. Cela étant, je forme les fonctions linéaires x — sx, y - sy, z - sz, &c., où s 
est une quantité quelconque, et je considère la fonction 
( 0 )(x - sx, y -sy, z -sz . ..) 2 , 
laquelle, en la développant, devient 
(1 + s 2 )( 0 )(x, y, z ...y-2s{ 0 )(>, y, z ...)(£, y, Ç ...); 
et en développant de la même manière la fonction quadratique 
on obtient l’équation identique 
Soit □ le déterminant formé avec les coefficients de fonctions linéaires x — sx, 
y — sy, z — sz, &c. En supposant que le nombre des indéterminées x, y, z, &c., est n, 
□ sera évidemment une fonction rationnelle et intégrale du degré n par rapport à s. 
Soit de même □' le déterminant formé avec les coefficients de 
x x, y y, z — z, &c. ; 
s J s * s 
l’équation qui vient d’être trouvée, donne [J 2 = s 2n n' 2 , c’est-à-dire □ = + s n Cela 
fait voir que les coefficients du premier et du dernier terme, du second et de l’avant- 
dernier terme, &c., sont égaux, aux signes près. De plus, le coefficient de la plus 
haute puissance s 11 est toujours ±1, et on voit sans peine qu’en supposant d’abord 
que n soit impair, on a pour la transformation propre: 
□ =(1, P, ...P, l)(-s, l) n 
et pour la transformation impropre 
□ =(1. -P,-P, - IX- ». O“: 
équation qui peut être changée en celle-ci: □ = — (1, P, P> l)( s > 1)” Puis, en 
supposant que n soit pair, on a pour la transformation propre: 
□ =(1, P, ...P, IX-*, VP 
et pour la transformation impropre: 
□ = (1, - P,... P, -IX-S, l) n , 
25—2