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SUR LA TRANSFORMATION D’UNE FONCTION QUADRATIQUE 
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le coefficient moyen étant dans ce cas égal à zéro. Ces théorèmes pour la forme du 
déterminant des fonctions linéaires x — sx, y — sy, z—sz,... sont dus à M. Hermite. 
Il y a à remarquer que la forme ( 0 ){x, y, z ...) 2 est tout à fait indéterminée; 
c’est-à-dire, on suppose seulement que x, y, z, ... soient des fonctions linéaires de 
x, y, z,..., telles qu’il y ait une forme quadratique ( (> )(x, y, z, ...) 2 pour laquelle 
l’équation ( 0 )(x, y, z ...) 2 = ( 0 ){x, y, z ...) 2 est satisfaite. 
Je regarde d’un autre point de vue ce problème de la transformation en elle- 
même, d’une fonction quadratique par des substitutions linéaires. Je suppose que 
x, y, z, &c. soient des fonctions linéaires données de x, y, z, ... , et je cherche une 
fonction linéaire de x, y, z, &c. qui, par la substitution de x, y, z, &c. au lieu de 
x, y, z, &c. se .transforme en elle-même à un facteur près. Soit (l, m, n, ...)(x, y, z, ...), 
cette fonction linéaire, il faut que (l, m, n, ...)(x, y, z,...) soit identiquement =s.(l, m, n,...) 
(x, y, z, ...), ou, ce qui est la même chose, que (l, m, n, .. .)(x — sx, y — sy, z — sz, ...) soit = 0 ; 
c’est-à-dire, les quantités l, m, n, ... seront déterminées par autant d’équations linéaires 
dont les coefficients sont précisément ceux de x — sx, y — sy, z — sz, &c. ; donc s sera 
déterminé si l’on rend égal à zéro le déterminant formé avec ces coefficients, et l, m, n, &c. 
se trouveront donnés rationnellement en termes de s. Cela étant, je suppose que les 
racines de l’équation en s soient a, b, c, ... , et ces différentes racines correspondront 
aux fonctions linéaires x a , x b , x c , ... qui ont la propriété dont il s’agit. Soit ( Q )(x, y, z, ...y 
une fonction quadratique qui se transforme en elle-même par la substitution de x, y, z, &c. 
au lieu de x, y, z, &c. Cette fonction peut être exprimée en fonction quadratique de 
x a , x b , x c , &c. ; quantités qui, en substituant x, y, z, &c. au lieu de x, y, z, ... deviennent 
ax a , bx b , cx c , .... 
Je prends les cas d’une fonction binaire, ternaire, &c., et d’abord le cas d’une 
fonction binaire. 
En écrivant d’abord ( 0 ){x, y) 2 = (A, B, C)(x a , x 6 ) 2 , on doit obtenir identique 
ment (A, B, C) (ax a , bx b ) 2 = (A, B, C)(x a , x b ) 2 , c’est-à-dire A (a 2 - 1) = 0, B(ab- 1) = 0, 
C{b 2 —1) = 0. Or la solution A=B = C = 0 ne signifiant rien, on ne peut satisfaire à 
ces équations sans supposer des relations entre les quantités a, b ; et pour obtenir une 
solution dans laquelle la fonction quadratique ne se réduit pas à un carré, il faut 
supposer, ou ab — 1 = 0, ou a 2 — 1 = 0 et 6 2 — 1 = 0. Le premier cas est celui de la 
transformation propre. Il donne 
ab — 1, (0 )(x, y) 2 = lx a x b . 
Le second cas est celui de la transformation impropre. Il donne 
a = + 1, b = - 1, (0 )(x, y) 2 = lx a 2 + m x b 2 . 
En passant au cas d’une fonction ternaire, soit 
( 0 ){x, y, zf = (A, B, C, F, G, H){x a , X b , x c y , 
on doit avoir identiquement 
(A, B, C, F, G, H)(ax a , bx b , cx c ) 2 = (A, B, G, F. G, H)(x a , x b , x c ) 2 ,