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136] EN ELLE-MÊME PAR DES SUBSTITUTIONS LINÉAIRES. 
c’est-à-dire : les coefficients de chaque équation sont dans le rapport de 
/3, 8-a, - y, 
de manière qu’en supposant que les coefficients a, b, c satisfont à la seule équation 
(a, b, c)(/3, 8-a, - 7) = 0, 
où oc, /3, 7, 8 sont des quantités quelconques, telles que 8 + oc = 0, on aura 
(a, b, c)(ax + /3y, yx + 8yf = -(oc8- /3y) (a, b, c)(x, y) 2 . 
Ce n’est là qu’un cas particulier de l’équation identique 
(a, b, c)(ax + (3y, yx + 8y) 2 + (u8 - /3y) . (a, b, c){x, y) 2 = 
(3 + a) . (aa + by, b (8 + oc), 6/3 + cS) (x, y) 2 + (/3, 8 - a, - y)(a, b, c) .(13, 8- a, - 7)(y, - x) 2 . 
Il faut remarquer qu’en supposant toujours l’équation 
(a, b, c)(/3, 8-a, ~7) = 0, 
la fonction quadratique (a, b, c)(x, y) 2 , en supposant quelle se réduise à un carré, est 
comme auparavant P 2 ou Q 2 , c’est-à-dire le carré de l’une des fonctions linéaires. 
En effet : en écrivant (a, b, c)(x, y) 2 = (Ix + my) 2 , l’équation entre l, m serait évidem 
ment (/3, 8 — a, — 7)(l, m,) 2 = 0, de manière que l, m auraient les mêmes valeurs qu’au- 
paravant. J’ajoute que tout ce qui précède par rapport à l’équation 
(a, b, c)(ax + /3y, yx + 8y) 2 = p (a, b, c)(x, y) 2 
fait voir qu’à moins que la fonction quadratique ne soit un carré, on aura toujours 
p = ± (a8 — /3y) ; ce qu’on savait déjà dès le commencement, et ce qui peut être démontré 
comme à l’ordinaire, en égalant les discriminants (ac — b 2 ) (a8 — /3y) 2 et (ac — b 2 ) p 2 des 
deux côtés. Je fais enfin p — 1, ce qui donne l’équation 
(a, b, c)(ax + fiy, yx + 8y) 2 = (a, b, c)(x, y) 2 , 
et (en faisant abstraction du cas où la fonction quadratique est un carré) je tire de 
ce qui précède les résultats connus, savoir, que l’on a: 
1. Pour la transformation propre : 
a8 — ¡3y = 1, 
a : 2b : c —y : 8 — a : — /3. 
2. Pour la transformation impropre : 
aS — /3y = — 1, 8 + a = 0, 
a/3 + b (8 — oc) — cy = 0. 
Je crois que cette discussion a été utile pour compléter la théorie algébrique de la 
forme binaire (a, b, c)(x, y) 2 .