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RECHERCHES ULTÉRIEURES SUR LES DÉTERMINANTS GAUCHES. [137
Il est à peine nécessaire de remarquer que dans les Pfaffians à droite, où entrent
des symboles tels que la, ¡31, &c., qui ne se trouvent pas dans le déterminant dont il
s’agit, il faut écrire la = — al, /31 = — 1/3, &c. Le symbole /3a ne se trouve ni dans le
déterminant, ni au côté droit. Cependant il convient de poser /3a = — a/3 ; car cela étant,
il serait permis de transformer les Pfaffians, en écrivant par exemple a/312 = — /3al2.
Je remarque en passant que, si avant de poser l’équation /3a = — a/3, on suppose que
les deux symboles a, /3 deviennent identiques (si par exemple on écrit a = ¡3 = 5), on
aurait par exemple
a/3.12 = a/3.12 + al. 2/3 + a2./31 = 55.12 + 51.25 + 52.51 = 55.12, &c.,
et on retrouverait ainsi la formule pour le développement de 12345 | 12345.
La nouvelle formule peut être appliquée immédiatement au développement des
déterminants mineurs. En effet, en se servant de la notation des matrices, on aura
11,
12,
13
- 1 1
+ 23
23,
- 13
23,
-12
32
123 1 123
21,
22,
23
-23
13,
+ 13
1 13,
- 21
31
31,
32,
33
-32
12,
- 31
1 21,
+ 12
12
H,
12,
13,
14
- 1 1
1234 1 1234
+ 234
234,
CO
i—i
1
234,
- 124
324,
-123
423
21,
22,
23,
24
-234
134,
+
l-j
CO
134,
- 214
314,
-213
413
31,
32,
33,
34
-324
124,
-314
214,
+ 214
214,
-312
412
41,
42,
43,
44
-423
123,
-413
213,
-412
312,
+ 123
123
et ainsi de suite. On suppose toujours que chaque terme de la matrice à droite soit
divisé par le dénominateur commun. On voit que les déterminants mineurs qui cor
respondent à des termes tels que aa, sont des déterminants gauches ordinaires, avec le
signe +, tandis que les déterminants mineurs qui correspondent à des termes tels que
a/3, sont des déterminants gauches bordés tels que ¡3... j a..., avec le signe —.
Pour donner des exemples de la vérification de ces formules, je remarque que l’on
doit avoir
123 |
123 =
11
. 23
1 23
-
12 .
23 1
fis
-
13 .
32 1
[12
équation qui peut aussi être écrite
sous
la
forme
123 |
123
11 .
23 j
23
+
21 .
23 1
13
+ 31 . 32 I 12.
