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RECHERCHES ULTÉRIEURES SUR LES DÉTERMINANTS GAUCHES. 
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Voilà la transformation propre. On en tire la transformation impropre de \lx? 4- 22x? 
en elle-même en écrivant 33 = 0 ; car, cela posé, les valeurs de x x , x 2 ne contiennent 
pas x 3 , et Гоп n’a plus besoin de la valeur de x 3 . On obtient ainsi la solution 
suivante ; savoir, on satisfait identiquement à l’équation 
en écrivant 
11' X, 2 4- 22' x 2 2 = 11' X* + 22' xi 
(Xi, x 2 ) = 
1 
123 I 123' 
193 I 193' 
2 . 23 I 23' - , - 2 . 13 I 23' 
- 2 . 23 I 13', 2 . 13 I 13' 
(ll'«à, 22'0, 
123 I 123' 
9 9 
ce qui est une transformation impropre. Mais en y faisant la substitution 11=13' .11', 
22 = 13'. 22', 12 = 11'. 23', on réduit la solution à celle-ci, savoir on satisfait identique 
ment à l’équation llx 1 2 + 22x 2 2 = Wxf 4- 22x 2 2 en écrivant 
1_ 
(Xi, x 2 ) = 12 I 12 
-2 . 2 I 2 + 
12 I 12 
11 
+ 2 . 2 \l, 
-2 . 1 I 2 
(liai, 22ж 2 ), 
+ 2 . 
Л I- 
12 I 12 
22 
ce qui est encore une transformation impropre, qui correspond de plus près à la 
formule pour la transformation propre ; la seule différence est que les signes des 
termes de la première colonne de la matrice en sont changés. 
En introduisant des lettres simples a, b, &c. à la place des symboles 11, 22, &c., 
je considère d’abord la transformation propre 
Ici, en écrivant 
la formule donne 
ax 2 4- 6y 2 = ax 2 4- by 2 . 
11, 
12 
= 
a, V 
21, 
22 
-V, b 
(X, y) — 
1 
ab 4- y 2 
ab — v 2 , — 2i>b 
Iva , ab — у 2 
(x, y). 
La transformation impropre 
ax 2 + by 2 = ax 2 4- by 1 
s’obtient au moyen de la formule donnée plus bas pour la transformation propre de 
la fonction ax? 4- by 2 + cz 2 en elle-même. En y écrivant c = 0, on obtient 
(x, 
y)=^î 
a\ 2 4- bp 2 
aX 2 — bp?, 2 \pb 
2 \pa , — a A, 2 4 bp 2 
(®. У)•