214 RECHERCHES ULTÉRIEURES SUR LES DÉTERMINANTS GAUCHES. [137 
cela donne 
a 2 + /S 2 + y 2 + 3 2 — a' 2 - /3' 2 - 7 ' 2 - 3' 2 = 0, 
R = £ (a 2 + /3 2 + 7 2 + S 2 + a' 2 + /3' 2 + y' 2 + 3' 2 ), 
de manière qu’en écrivant 
on obtient 
M = a 2 + /3 2 + 7 2 + 3 2 , 
ilf ' = a' 2 4- /3' 2 + y' 2 + S' 2 , 
R = ^(M + M') = ^(MM'), 
et la formule pour la transformation devient 
(x, y, z, w) = 
1 
V (MM') 
— aa' + /3(3' + 77' + 88', — a/3' — /3a' — 78' + 8y', 
— a/3' — /3a' + 78' + 8y' , aa' — /3/3' 4- yy + 88', 
— ocy' — /38' — ya' + 3/8', aS' — /3y' — y/3' — 8a', 
— a8' + /3y' — y/3' — 8a', — ay — /38' + 7a' — 8/3', 
— ay' + /33' — y a' — 3/3', 
— a8' — /3y' — y/3' + 8a', 
aa' + /3/3' — yy' + 33', 
a8' + /3y' — y/3' + 8a' 
ay' + /38' + 7a' + 8/3' 
(x, y, z, w). 
a/3' — /3a' — y 8' — 8y', — aa' — /3/3' — 77' + 33' 
On voit donc que même sans supposer l’équation ili = M', cette formule donne la 
transformation propre 
x 2 + y 2 + z 2 + w 2 = x 2 + y 2 + z 2 + w 2 . 
Cette solution est à peu près de la même forme que la solution impropre donnée 
par Euler dans son mémoire “ Problema algebraicum ob affectiones prorsus singulares 
memorabile” Nov. Comm. Petrop., t. xv. 1770, p. 75, et Comm. Arith. collectae, [4to. 
Petrop. 1849], t. 1. p. 427. Je remarque aussi que cette même solution peut être 
déduite de la théorie des Quaternions. En effet, i, j, k étant des quantités imaginaires 
telles que i 2 =j 2 = k 2 = — 1, jk = — kj — i, ki = — ik =j, ij — —ji = k, on obtient, en effectuant 
la multiplication : 
(xi + yj + zk + w) = - O' + ¡3j + yk + 8) (xi + yj +zk + w) (a'i + f3'j + y'k + 3'), 
x, y, z, w ayant les mêmes valeurs que dans la dernière formule de transformation. 
En changeant les signes des termes de la quatrième colonne, on en tire pour la 
transformation impropre 
x 2 + y 2 + z 2 + w 2 = x 2 + y 2 + z 2 + w 2 ,