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DES FONCTIONS LINÉAIRES d’üNE SEULE INDÉTERMINÉE. 
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de 
la table 
Pour donner encore un exemple du sens de ces symboles, le symbole 321 dénote 
que le determinant a un facteur (s a) qui entre comme facteur triple dans le déter 
minant, comme facteur double dans les premiers mineurs, et comme facteur simple dans 
les seconds mineurs, 1 autre facteur du determinant est un facteur simple (s 5). Les 
nombres des symboles pour n = 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, &c. sont 1, 3, 6, 
14, 27, 58, 111, 223, 424, 817, 1527, &c. ; ces nombres sont les coefficients de x 1 , x 2 , x 3 , 
&c. dans le développement de ■ 
(1 - x)- 1 (1 - x-y 2 (1 -«•)“•(! -æ 4 )- 5 (1 - x 5 )- 7 (1 - æ 6 )- 11 (1 - « 7 )-is(l - a?)- 22 (1 - x 9 )- 30 ... &c. 
où les indices 1, 2, 3, 5, 7, 11, &c. forment la suite qui se présente dans la théorie 
de la partition des nombres, dont j’ai parlé plus haut. Il est très facile de démontrer 
qu’il en est ainsi. 
facteur 
premiers 
Les résultats que je viens de présenter sont en partie dus à M. Sylvester (voyez 
son mémoire “An enumeration of the contacts of lines and surfaces of the second 
order,” Philosophical Magazine, [vol. 1. (1851), pp. 18—20]). En effet, M. Sylvester 
commence par étendre à des fonctions d’un nombre quelconque d’indéterminées l’idée 
de 
géométrique des contacts des courbes et des surfaces. En considérant les deux équa 
tions quadratiques U - 0, V= 0, il forme le discriminant de la fonction quadratique 
U + s V, et il cherche dans quel degré chaque facteur de ce discriminant peut entrer 
comme facteur dans les mineurs premiers, seconds, &c. Le discriminant de M. Sylvester 
est un déterminant symétrique ; mais cela ne change rien à la question, et je n’ai 
fait que reproduire l’analyse de M. Sylvester, en donnant cependant l’algorithme pour 
la formation des symboles, et de plus la loi pour le nombre des symboles. M. Sylvester 
donne pour n= 2, 3, 4, 5, 6, des nombres qui, en ajoutant à chacun le nombre 2, 
pour embrasser deux cas extrêmes qui ne sont pas comptés, seraient 3, 6, 14, 26, 58. 
Il se trouve dans le nombre 26 une erreur de calcul ; ce nombre devrait être 27, et 
en suppléant le premier terme 1, on a la suite trouvée plus haut, savoir 1, 3, 6, 14, 
27, 58, &c. ; il y a de même une erreur de calcul dans les nombres donnés par M. 
Sylvester pour n — 7 et n = 8. 
Mais tout cela s’applique à une autre théorie géométrique, savoir à la théorie des 
ligures homographes. Pour fixer les idées, je ne considère que les figures dans le plan. 
En supposant que x, y, z soient les coordonnées d’un point, et en prenant pour (x, y, z) 
des fonctions linéaires de (x, y, z) on aura (x, y, z) comme coordonnées d’un point 
homographe au point (x, y, z). En cherchant les points qui sont homographes chacun 
à soi-même, on est conduit aux équations x— sx = 0, y — sy = 0, z — sz = 0. Les 
quantités à gauche x— sx, y — sy, z— sz sont des fonctions linéaires de x, y, z, ayant 
pour coefficients des fonctions linéaires de s. On a ainsi une matrice dont les termes 
sont des fonctions linéaires de s ; la théorie entière se rattache aux propriétés de 
cette matrice. Pour le cas général de l'homographie ordinaire, on a le symbole 
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