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239] ADDITION A LA NOTE SUR LA COMPOSITION DU NOMBRE 47. 
contient le terme constant 4- 6 ; en y ajoutant la quantité évanouissante — 6 (1 + a 4- ... + a 22 ) 
elle se réduit à 
f a + a 2 - 3a 3 4- 3a 5 + 10a 7 4- 9a 8 + 3a 9 4- 12a 19 + 3a 11 
{+ a 22 + a 21 - 3a 20 4- 3a 18 + 10a 1 « + 9a 15 + 3a 14 + 12a 13 + 3a 12 
et en multipliant cette valeur par E (a), le terme constant sera + 808 ; donc en y 
ajoutant la quantité évanouissante — 808 (1 + a + ... -f a 22 ) on obtient 
E (a) (a 10 4- a 13 4- a 8 4- a 15 4- a 7 4- a 16 ) 3 
f— o a — 8a 2 — 7a 3 — 7a 4 — 4a 5 — 3a fi — 7a 7 — 8a 8 — 7a 9 — 7a 10 — 5a 11 
t- 5a 22 - 8a 21 - 7a 20 - 7a 19 - 4a 18 - 3a 17 - 7a 16 - 8a 15 - 7a 14 - 7a 13 - 5a 12 . 
En représentant cette expression par B'a +C'a 2 + ... + K'a 22 , j’écris 
B'a + C'a- + ... + K'a- 2 
= (a + ba + ... 4- ko?-) (a 4- 6a 22 + ... + /¿a) — (a 2 + b 2 4- ... 4- k 2 ) (1 + a + ... 4- a 22 ), 
équation qui subsiste pour a = l. On a donc 
B 4- C +... + K = (a + b -f-... + k) 2 — 23 (a? + b 2 4- ... + k 2 ), 
ou, d'après les valeurs de B', C,... K', 
- 136 = (a + b + ... + ky - 23 (a 2 + b 2 + ... + k 2 ), 
ce qui donne 
(a + b + ... + k) 2 = — 136 (mod. 23). 
On peut ajouter à (a + ba+ ... +ka.~) un multiple quelconque de (1 + a-[- ... + a 22 ) et 
changer le signe ; il est donc permis de prendre (a + b + ... + k) positif et plus petit 
(pie -%3. Cela étant la congruence donne 
a +b + ... + k = 5 
et on obtient alors 
a 2 + b 2 -t-... + k 2 = 7. 
Au moyen de cette valeur l’équation à laquelle il faut satisfaire devient 
7 + 2a — a 2 + 3a r> + 4a 6 — a 8 + 2a 11 
+ 2a 22 — a 19 4- 3a 18 4- 4a 17 — a 13 4- 2a 12 
= (a + ba ... 4-ka 22 ) (a 4- ba. 22 ... 4- ka). 
A cause des coefficients numériques négatifs, les coefficients cherchés a, b,...k ne 
peuvent pas être tous à la fois positifs ; et cela étant il n’y a qu’une seule manière 
de satisfaire aux deux conditions ci-dessus écrites, savoir il faut donner à sept des 
coefficients a, b, ... k les valeurs 1, 1, 1, 1. 1, 1, —1, et aux autres coefficients la valeur 
zéro ; l’expression 
F (a) = a 4 4- a 5 4- a 9 4- a 10 + a 16 — a 2 " 4- a 22 
s’accorde en effet avec cette conclusion. 
Londres, le 6 Octobre, 1858.