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253. 
SUE LA COUEBE PAEALLÈLE À L’ELLIPSE. 
[From thè Annali di Matematica pura ed applicata (Tortolini), tom. ni. (1860), 
pp. 311—316.] 
Il fut remarqué par Cauchy (Comptes Rendus, tom. xin. [1841], p. 1063) que l’équa 
tion de cette courbe pourrait se trouver en éliminant 6 entre les équations 
a 2 a? b-y- (fia? (fiÿ 2 _ . 9 
(d + a 2 ) 2 + (ë~+¥y - * (f+âïÿ + (0+Wfi- k ' ’ 
et cette élimination fut effectuée, et le résultat trouvé sous la forme la plus simple 
par M. Catalan (Terquem, tom. ni. 1844, p. 553) ; mais pour faire l’élimination de la 
manière la plus facile je remarque que ces deux équations donnent 
a? y 2 Je 2 a? y 2 _k 2 
0+~â 2+ 0 + b 2 ~ L+ 6’ (0 + a 2 ) 2 + (0 + b 2 ) 2 ~ÏÏ 2> 
dont la seconde est la dérivée, par rapport à 0, de la première ; or cette première 
équation est 
(0 + k 2 ) (0 4- a 2 ) (0 + b 2 ) — a? 0 (0 + b 2 ) — y 2 0 (0 + a 2 ) — 0, 
et, en égalant à zéro le discriminant de la fonction cubique, on aura l’équation de la 
courbe ; en posant 
A = x 2 + y 2 — k 2 — a 2 — b 2 , B = b 2 a? + a 2 y 2 — a 2 k 2 — b 2 k 2 — a 2 b 2 , G = a 2 b 2 k 2 , 
la fonction cubique, multipliée par 3, sera 
on aura donc 
(3,-A, -B, 3G\0, 1)3; 
4 (A 2 + 3B) (B 2 + 3AG) - (AB - 9G) 2 = 0,