tion. [223 
224] 
5 
Or il ne peut 
)it donc avoir 
pii satisfont à 
; en supposant 
=°. «x = 0, 224. 
,u discriminant 
int, et en sup 
lís la fonction 
SUR UN THÉORÈME D’ABEL. NOTE. 
[From the Annali di Scienze Mathematiche e Fisiche (Tortolini), vol. vin. (1857), 
pp. 201—203.] 
Il y a un petit mémoire d’Abel qui porte le titre “TJeber die Functionen welche 
der Gleichung <£ (x) + cf) {y) — yjr lxf{y) + yf{x)^ genugthun” (Crelle, tom. n. (1827), pp. 
386—394). La solution du problème est contenue dans les équations que voici, savoir 
f{x) est une fonction définie par l’équation 
a- n = ( f(x) — næy i+a ' ( f{x) + nxy i ~ a \ 
et on a alors 
4> ( æ ) = n + a ' lo & 0 (/(®) + ™)> 
et (en réduisant un peu l’expression donné dans le mémoire) 
f(0 = J v iogC Sa (/Ç) + -). 
On a aussi pour <£ (x) cette autre expression en forme d’intégrale indéfinie, 
J J f(x) + ax 
car le facteur aa par lequel dans le mémoire l’expression à côté droit est multiplié 
se réduit (comme on voit sans peine) à l’unité. En comparant les deux expressions de 
<f> (x), on voit qu’il est permis de prendre l’intégrale depuis x = 0, pourvu qu’on écrive 
c = 1 ; cela donne 
f dx 1 t x 
J Q /(«) + cia ~n + c' lo 8 (/(*) + »*)> 
formule très simple pour l’intégration d’une expression algébrique laquelle ne peut 
pas s’exprimer à moyen de radicales.