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231] note sur l’équation a? — Dy* = ± 4, D = 5 (mod. 8). 
Cela fait voir qu’il existe une solution de l’équation x 2 — Dy 2 = — 4, solution que l’on 
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obtient au moyen de la fraction continue 7 + - -, = — en faisant x = 39, y = 5. La 
J 1 + 4’ 5 J 
plus petite solution de l’équation x 2 — Dy 2 = 4 se déduit très facilement de la plus petite 
solution de l’équation r-~ Dv 2 = — 4 au moyen de la formule x + y^D = ^ (t + v \JD) 2 , ce 
qui donne x = r 2 + 2, y — tv. 
On obtient pareillement la plus petite solution de l’équation x 2 — Dy 2 — — 1 au 
moyen de la formule (x + y \/D) = £ (r + v \JD) 3 , ce qui donne 
« = \ (r 3 + 3r), y = £(r 2 +l)v. 
De même la plus petite solution de l’équation x 2 — Dy 2 = 1 se déduit de la plus 
petite solution de l’équation T 2 — DU 2 = 4 au moyen de la formule x + y*JD = ±(T+U\/D) 3 , 
ce qui donne x = ^(T 3 — ST), y = ^{T 2 — T)U. 
Je fais observer à cette occasion que suivant une remarque de Göpel (“Notiz über 
A. Göpel,” t. xxxv. [1847] p. 315 de ce Journal) si dans l’équation = P + \/Q, 
où x, y, p, n, P, Q sont des entiers, le dénominateur p est plus grand que l’unité et 
x, y, p n’ont pas de dénominateur commun, on aura nécessairement p = 2, n = 3 ou 
égal à un multiple de 3, x impair, et y de la forme 8n + 5. 
J’ai calculé au moyen des tables de Degen la table suivante des plus petites 
solutions en nombres impairs de l’équation x 2 — Dy 2 = — 4 ou, si cette équation n’en 
admet pas, de l’équation x 2 — Dy 2 = 4 ; en d’autres termes, une table des plus petites 
solutions impaires de l’équation x 2 — Dy 2 = + 4, D= 5 (mod. 8). 
Londres, 2 Stone Buildings, 10 Mars, 1855. 
C. IV. 
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