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234. 
DEUXIÈME NOTE SUR UNE FORMULE POUR LA RÉVERSION 
DES SÉRIES. 
[From the Journal far die reine vnd angeiuandte Mathematik, (Crelle), tom. liv. (1857), 
pp. 156—161 : Sequel to Note t. lu. (1856), 229.] 
Je me propose de montrer, dans cette deuxième note, de quelle manière le théorème 
de Jacobi conduit à une formule donnée sans démonstration par M. Sylvester dans son 
mémoire intitulé “ On the Change of Systems of Independent Variables,” Quarterly 
Math. Journal, tom. i. [1857], p. 42 à 56 et 126 à 134. Pour fixer les idées je prends 
le cas de trois variables, et je suppose que f(x, y, z) soit une fonction rationnelle et 
entière de x, y, z, et que ces variables soient données en fonction de u, v, w au 
moyen des équations u = X, v = Y, w = Z, où X, Y, Z sont des fonctions rationnelles 
et entières de x, y, z. Mais ces fonctions ne sont plus assujetties à la condition (admise 
dans ma première note) detre telles que X — x, Y — y, Z — z ne contiennent que les 
puissances et les produits du deuxième ordre et des ordres supérieurs des variables, 
et il s’agit de déterminer dans le cas général le développement de f(x, y, z) en termes 
de u, v, w. 
Pour résoudre ce problème j’écris 
X = A 100 x + A 010 y + A m z + ., 
.. + A ft g th xhf z h + etc., 
I = B m x + B 010 y -f- B„oi z + ., 
.. + x i \f z k + etc., 
Z = C 100 x 4- C 0l0 y + O m z + .. 
• • + Gi,m,nAy m z n + etc., 
f(x, y, z) = 
.. + ^P Q^My^ z R + etc. 
dans ces expressions et partout dans la suite les etc. représentent des termes qu’on 
obtient en donnant des accents en nombre quelconque aux symboles indéterminés. 
Je dois faire observer relativement au coefficient A/ tffth et aux coefficients semblables, 
que les termes qui correspondent à f + g + h = 1 sont écrits à part ; on doit donc prendre 
pour les nombres y] g, h seulement les valeurs qui rendent f+g + h>l.